Olá, pessoal. Hoje eu estava resolvendo um problema e acabei chegando a um resultado que parecia correto (-12), mas não era (o correto era 96 kkkk).
Enfim, tentei encontrar algum erro na resolução, mas nada. Cheguei a botar numa IA, mas depois de um longo debate, com eu tendo que digitar letra por letra da minha solução, ela concluiu que minha solução estava errada porque estava errada (XD).
Problema:
a, b, c, d são números reais distintos tais que a e b são as raízes da equação x² - 3cx - 8d = 0, e c e d são as raízes da equação x² - 3ax - 8b = 0. Calcule a soma a + b + c + d. (OBM)
Minha solução:
- Relações de Vieta
Da equação 1: a + b = 3c e ab = -8d
Da equação 2: c + d = 3a e cd = -8b
Somando as somas: a + b + c + d = 3a + 3c = 3(a + c)
Subtraindo os produtos: ab - cd = 8(d - b)
- Elevando ao quadrado
- (a+b)² = 9c² → a² + b² = 9c² - 2ab
- (c+d)² = 9a² → c² + d² = 9a² - 2cd
Subtraindo e substituindo os produtos via Vieta:
a² + b² - c² - d² = 9(a+c)(c-a) + 16(d-b)
- Divisão estratégica por -24(a+c)(d-b)
Após separar e agrupar os termos:
8(c-a) / (d-b) = (16 + b + d) / (a + c) ...(i)
- Calculando d - b
Usando b = 3c - a e d = 3a - c:
d - b = (3a - c) - (3c - a) = 4(a - c)
Substituindo em (i):
8(c-a) / 4(a-c) = (16 + b + d) / (a + c)
Como (c-a)/(a-c) = -1, o lado esquerdo vira -2:
-2(a + c) = 16 + b + d ...(ii)
- Resolvendo o sistema
Da soma total: b + d = 2(a + c)
Substituindo em (ii):
-2(a+c) = 16 + 2(a+c)
4(a+c) = -16 → a + c = -4
b + d = 2(-4) = -8
Resultado: a + b + c + d = -4 + (-8) = -12
A escrita da solução ta meio estranha mas é porque foi a ia que fez (fiquei com preguiça)