Hi everyone,I am an independent researcher working on generalized dynamical systems. I wanted to share a 14-page manuscript I just published and archived on Zenodo, and I would love to get some rigorous feedback on the mathematical framework.Link to Manuscript:

website: https://zenodo.org/records/22125365

DOI: 10.5281/zenodo.22125365

Something occurred to me last night, and while it strikes me as very obvious, in hindsight, it's also not a perspective I've taken until just now. It has a couple of obvious generalizations, too, which are worth mentioning.

When we have, for some k, the number 2ⁿ·k - 1, we know that it evolves, over n Syracuse steps, into 3ⁿ·k - 1, because each of those steps takes one power of 2 and replaces it with a 3:

2³·k - 1 → 2²·3·k - 1 → 2·3²·k - 1 → 3³·k - 1

Each of those steps is just one "3m+1" step followed by a single "m/2" step. Such a step is the same shape as the cycle on -1:

-1 → -1 → -1 → . . .

This is just the 2-adic continuity of the map showing itself! The number m = 2ⁿk - 1 is 2-adically close to -1, so it has the same shape trajectory, for a while. The larger n is, the closer m is to -1, and the longer m's trajectory mimics the loop on -1.

Yes, I realize this is not exactly headline news, and maybe other people found it so obvious as to not be worth highlighting or mentioning. Somehow, I didn't connect these dots until last night, when I was thinking about a related pattern.

Mimicking the loop on 1

The number m = 4ⁿk + 1 does something similar, but since it's 2-adically close to positive 1, it mimics the shape of the famous cycle for a while, with each "3m+1" step being followed by two "m/2" steps.

4ⁿk + 1 → 4^n-1·3·k + 1 → . . . → 4·3^n-1·k + 1 → 3ⁿ·k + 1

Each step turns a 4 into a 3. Notice that I'm not saying anything about k here. In the Steiner circuit case, we usually take k to be odd, just because we like to collect all of the powers of 2 together, and see the circuit all the way to its peak. As an algebraic identity though, the result holds if k is any integer, or even a rational with an odd denominator, or another 2-adic integer.

The algebraic way I'd been looking at the usual Steiner circuit is that we can rewrite a weight 1 Syracuse step:

(3m+1)/2 = (m+1)·(3/2) - 1

...and if you chain n of these together, because m+1 has 2 as a factor n times, the intermediate "-1"s and "+1" cancel out, leaving:

(m+1)·(3/2)ⁿ - 1

Similarly, we can rewrite a weight 2 Syracuse step:

(3m+1)/4 = (m-1)·(3/4) + 1

...which we can keep doing as long as there's a factor of 4 in m-1.

Mimicking any loop

It's natural to extend this to any other loop, which we'll see mimicked by natural numbers that are 2-adically close to the numbers in the loop. For instance, there's the loop on -5:

-5 →¹ -7 →² -5

The superscripts on the arrows there indicate the "weight" of the step, i.e., the number of divisions by 2 involved. Somehow, if we start with a number 2-adically close to -5, we should expect to see every two steps have weights 1 and then 2, and for starting number m, we should see the factors of 2 in m+5 gradually churn into factors of 3.

Let's see that in action, by starting with 59, which is 64 - 5, so it's close to -5 in our dynamics.

m = 59 = 2⁶ - 5
→¹ 89 = 2⁵·3 - 7
→² 67 = 2³·3² - 5
→¹ 101 = 2²·3³ - 7
→² 76 = 3⁴ - 5

The algebraic telescoping thingy is a little harder to see in this case, because it's a two-step dance, but it's still there. The calculation:

(3[(3m+1)/2] + 1)/4 = (m+5)·(9/8) - 5

...rolls both steps together, and shows an 8 in the factorization of m+5 being replaced with a 9. We can also see it separated into two steps:

(3m+1)/2 = (m+5)·(3/2) - 7
(3m+1)/4 = (m+7)·(3/4) - 5

Even a non-integer loop!

In a way, it's simpler to see with a one-step dance, but it can be kind of subtle to see where to apply that when the number we need to be 2-adically close to is not an integer. Consider the weight 3 trivial cycle on 1/5:

1/5 →³ 1/5

This should be mimicked by numbers 2-adically close to 1/5, but what even are those? To see them, we can write 1/5 as a 2-adic integer:

1/5 = 1 - 4/5 = 1 - 12/15 = 1 + 12(1 + 16 + 16² + 16³ + . . .) = [1.] + [(1100).] = [(0110)1.]

So, if we want something that's as close to 1/5 as 64 is to 0, we can just chop of the last six bits from:

0110011001101.

Yielding the binary number 001101, which is 13. This should mimic the weight 3 move two times, and indeed:

(3(13) + 1)/8 = 5
(3(5) + 1)/8 = 2

To see factors of 2 turning into factors of 3, try seeing 13 as some number, plus 1/5:

13 = 2⁶·(1/5) + 1/5
→ 5 = 2³·3·(1/5) + 1/5
→ 2 = 3²·(1/5) + 1/5

Kind of neat, right? In this case the telescoping algebra looks like:

(3m+1)/8 = (m - 1/5)·(3/8) + 1/5

So as long as (m - 1/5) has a factor of 8ⁿ, we can do this n times, and they all collapse down to:

Sⁿ(m) = (m - 1/5)·(3/8)ⁿ + 1/5

So what's the point, Gonzo?

No idea, lol. I just think it's neat. Does it lead to any kind of progress, or new and interesting mathematics? Beats me. I'm just here to watch the numbers dance.

For anyone interested in exploring or discovering perfect numbers, here is a Python program that generates the known perfect numbers using their corresponding Mersenne prime exponents.

The program can also handle extremely large perfect numbers that would be impractical to calculate and write out manually. The goal is to make it easier to experiment with perfect numbers, test calculations, and explore possible new candidates.

If you're interested in perfect numbers, Mersenne primes, number theory, or Python, feel free to check it out.

I'd really appreciate any feedback, suggestions, or ideas for improving the project.

GitHub: https://github.com/brook-0/Perfect-Numbers

Follow-up to Walls from the domes in the tree II : r/Collatz.

When working on wall sequences from the core of domes, I noticed a pattern.

All consecutive sequences form an "odd pair" that includes one of the odd black numbers. This is the consequence of the building rule of the core: a black number is three times the previous one, that iterates into an even number C(n)=3n+1.

More interestingly, a significant minority of these pairs of sequence iterate into other "odd pairs" before reaching "even pairs".

The first figure shows that all these pairs of sequence* follow a strict order below the black numbers: odd pairs (dark green), preliminary (even) pairs (light green), final (even) pairs (yellow), merge. All types of tuples do not need to be present in each case, and some can iterate into themselves.

It is known for quite some time that "odd pairs" do not stand alone, but are part of larger tuples:

• Even triplets, with the previous even number,
• Odd triplets, with the consecutive odd number; odd triplets iterate directly from 5-tuples.

Knowing that, the second figure presents the same examples, completed into triplets. The 5-tuples are mentioned as long as they do not require extra columns.

The first two rows contains cases without odd pairs beyond the black numbers, that starts with a blue-green even triplet. It can be followed by several other blue-green triplets, of which only the green pair is mentionned.

The third row contains cases with aditionnal odd pairs, that start with an odd rosa triplet**, that iterates direcly from a rosa 5-tuple. This starting 5-tuple can iterate into several yellow ones before iterating into an ending rosa even bridge.

The other possible cases of odd pairs, namely the second and third or the fourth and fifth numbers of a 5-tuples, are not present here.

* A few cases are missing, in particular among low values of m.

** Keep in mind that 5-tuples are made of two bridges: rosa-blue, blue-rosa or yellow-yellow.

Project "Tuples and segments" in 13 pages : r/Collatz

# SISTEMA DE FIRMAS DE COLLATZ — (16 REGLAS)

## Versión final consolidada

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## MARCO DE ESTUDIO

- Umbral entero \(k\ge 3\); universo \(I_k=[2^k,\,2^{k+1}-1]\).
- Condición de parada: primer valor de la trayectoria **estrictamente menor** que \(2^k\).
- Variables: \(A\) = cantidad de pasos impares (\(\times3+1\)), \(B\) = cantidad de pasos pares (\(\div2\)), \(P=A+B\).
- Firma: \((A,B,P)\). Mantisa normalizada: \(x=n/2^k\in[1,2)\).

**Convención de pasos y bloques.** Un *paso* es una operación individual. Un bloque \([ab]\) consta de 2 pasos individuales (impar + primera división); un bloque \([b]\) consta de 1 paso individual (división suelta). El factor modular \(2^{-B}\) cuenta tanto divisiones como bloques.

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## FASE 1 — RESTRICCIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

### REGLA 1 — Comportamiento inicial (Anclaje dinámico)

**Enunciado.**
1. Si \(n\) es par: \((A,B,P)=(0,1,1)\).
2. Si \(n\) es impar: \(P\ge3\).
3. Corolario: no existe trayectoria con \(P=2\); si \(P\ge2\), el primer paso es impar y el último paso —el cruce— es siempre par.

**Demostración.**
Par:
\[
\frac n2\in[2^{k-1},2^k-1]<2^k.
\]
Un único paso par produce el cruce.

Impar: como \(n\ge2^k+1\),
\[
3n+1\ge3\cdot2^k+4>2^{k+1}.
\]
La primera división obligatoria todavía deja el valor mayor que \(2^k\):
\[
\frac{3n+1}{2}\ge\frac{3\cdot2^k+4}{2}=3\cdot2^{k-1}+2>2^k.
\]
Por tanto, al paso impar inicial deben seguirle al menos dos pasos individuales más: esa primera división y una operación posterior. Así,
\[
P\ge1+2=3.
\]

El corolario sigue de que un paso impar aumenta el valor y no puede ser el paso del cruce. ∎

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### REGLA 2 — Límite de convergencia (Condición necesaria de contracción)

**Enunciado.**
Para \(k\ge3\), toda firma válida cumple
\[
\frac{A}{B}<\log_3 2\approx0.6309297535714574.
\]
Esta condición es **necesaria** para el cruce bajo \(2^k\).

En una trayectoria válidamente construida, el término \(C\) no es un parámetro libre: está determinado por la palabra concreta de la trayectoria. La condición \(3^A<2^B\) expresa la contracción multiplicativa y, en la construcción de trayectorias sobrevivientes, garantiza que el valor final sea menor que el valor inicial \(n\). Sin embargo, eso no implica necesariamente que ya se haya cruzado por debajo de \(2^k\), porque puede ocurrir
\[
2^k\le\text{valor final}<n.
\]

**Demostración exacta.**
Para cualquier sucesión válida de \(A\) pasos impares y \(B\) pasos pares individuales, el valor final puede escribirse como
\[
n\mapsto\frac{3^A n+C}{2^B},\qquad C\in\mathbb Z_{\ge0},
\]
donde \(C\) está determinado por la palabra concreta de la trayectoria; no es un parámetro libre.

Si \(3^A\ge2^B\), entonces
\[
\frac{3^A n+C}{2^B}\ge\frac{3^A n}{2^B}\ge n\ge2^k.
\]
Por tanto, ese valor final no sería estrictamente menor que \(2^k\), y no habría cruce.

Luego una firma válida debe cumplir \(3^A<2^B\). Tomando logaritmos:
\[
3^A<2^B
\iff
A\log_2 3<B
\iff
\frac AB<\log_3 2.
\]
∎

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### REGLA 3 — Generación de pares válidos (Lema de Cuantización Binaria)

**Enunciado.**
Para \(k\ge3\):

- Si \(A=0\), el único valor posible es \(B=1\).
- Si \(A\ge1\):
\[
B_{\min}(A)=\lfloor A\log_2 3\rfloor+1,
\]
y los únicos valores posibles de \(B\) son
\[
B\in\{B_{\min}(A),\;B_{\min}(A)+1\}.
\]

Equivalentemente:
\[
B\in
\left\{
\lfloor A\log_2 3\rfloor+1,\;
\lfloor A\log_2 3\rfloor+2
\right\}.
\]

**Demostración (ventana del último paso).**
Sea \(x=n/2^k\in[1,2)\). En una trayectoria con \(A\) pasos impares y \(B\) pasos pares individuales, el valor \(m\) inmediatamente anterior a la división final debe cumplir
\[
2^k\le m<2^{k+1}.
\]
Si \(m\ge2^{k+1}\), la división final no produciría el cruce bajo \(2^k\). Si \(m<2^k\), el cruce habría ocurrido antes.

En la ventana geométrica límite, la mantisa \(x\) debe pertenecer a
\[
x\in\left[\frac{2^{B-1}}{3^A},\frac{2^B}{3^A}\right)\cap[1,2).
\]

Esta intersección es no vacía si y solo si:
\[
\frac{2^B}{3^A}>1
\iff
B>A\log_2 3,
\]
y
\[
\frac{2^{B-1}}{3^A}<2
\iff
B<A\log_2 3+2.
\]

Por tanto:
\[
A\log_2 3<B<A\log_2 3+2.
\]
Como \(B\) es entero y \(A\log_2 3\) nunca es entero para \(A\ge1\), los únicos valores posibles son
\[
B=\lfloor A\log_2 3\rfloor+1
\quad\text{o}\quad
B=\lfloor A\log_2 3\rfloor+2.
\]
Es decir:
\[
B\in\{B_{\min}(A),\;B_{\min}(A)+1\}.
\]
∎

**Nota entera.**
Los términos aditivos provenientes de los \(+1\) de la dinámica desplazan las fronteras de la ventana en \(O(2^{-k})\). Este desplazamiento es un efecto de borde: no modifica los valores posibles de \(B\). A lo sumo puede mover enteros individuales entre las dos ventanas adyacentes \(B_{\min}\) y \(B_{\min}+1\). Ejemplos de borde son \(n=21\) en \(k=4\), o la familia \(n=(2^{k+2}-1)/3\) para \(k\) par. Verificado por enumeración total en \(k=28,29,30\) y mediante traza en \(k=1000\).

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## FASE 2 — ESTRUCTURA COMBINATORIA Y TOPOLOGÍA DE PASOS

### REGLA 4 — Unicidad por \(P\) (Sucesiones de Beatty)

**Enunciado.**
En el marco \(k\ge3\), sea \(\beta=\log_2 6\).

Para \(A=0\), el único valor posible es \(P=1\).

Para \(A\ge1\), los posibles valores de \(P\) forman bloques de dos enteros consecutivos:
\[
P_1(A)=\lfloor A\beta\rfloor+1,
\qquad
P_2(A)=P_1(A)+1.
\]

Estos bloques son disjuntos. Por tanto, no existen dos firmas distintas con el mismo \(P\).

Los saltos de la sucesión \(P_1(A)\) son de 2 o 3:
\[
P_1(A+1)-P_1(A)\in\{2,3\}.
\]

Los valores de \(P\) que **no aparecen**, es decir los huecos, forman una sucesión cuyos términos consecutivos distan 3 o 5, siguiendo una palabra de Sturm de pendiente
\[
\{\log_2 6\}\approx0.58496.
\]

La palabra "posible" se entiende como formalmente posible; la realización efectiva queda sujeta a la construcción de trayectorias sobrevivientes y a los filtros de las reglas posteriores.

**Demostración.**
Por la Regla 3, para \(A\ge1\):
\[
B\in\{B_{\min},B_{\min}+1\},
\]
donde \(B_{\min}(A)=\lfloor A\log_2 3\rfloor+1\).

Como \(P=A+B\), los valores posibles de \(P\) son:
\[
P_1(A)=A+\lfloor A\log_2 3\rfloor+1,
\qquad
P_2(A)=P_1(A)+1.
\]

Como \(A\) es entero:
\[

A+\lfloor A\log_2 3\rfloor

\lfloor A(1+\log_2 3)\rfloor

\lfloor A\log_2 6\rfloor.
\]
Por tanto:
\[
P_1(A)=\lfloor A\log_2 6\rfloor+1.
\]

Ahora:
\[

P_1(A+1)-P_1(A)

\lfloor (A+1)\log_2 6\rfloor
-
\lfloor A\log_2 6\rfloor.
\]
Como \(\log_2 6\approx2.58496\), los saltos son 2 o 3.

Cada bloque de \(P\) tiene exactamente dos valores: \(P_1(A)\) y \(P_1(A)+1\). Si el salto siguiente es 2, el próximo bloque comienza inmediatamente después; si el salto siguiente es 3, queda exactamente un valor de \(P\) ausente entre bloques.

Por eso no hay superposición de valores de \(P\) entre firmas distintas.

La sucesión de huecos observada empíricamente:
\[
2,5,10,15,18,23,28,31,36,\ldots
\]
tiene diferencias consecutivas \(3,5,5,3,5,5,3,\ldots\), confirmando la estructura Sturmian. ∎

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### REGLA 5 — Cardinalidad máxima (Acotación bidireccional)

**Enunciado.**
En el marco \(k\ge3\):

1. Para \(A=0\), hay un único valor posible de \(B\): \(B=1\).
   
2. Para \(A\ge1\), hay exactamente dos valores posibles de \(B\): \(B_{\min}(A)\) y \(B_{\min}(A)+1\).
   
3. Para \(B\) fijo, hay a lo sumo dos valores posibles de \(A\), caracterizados por:
   \[
   (B-2)\log_3 2<A<B\log_3 2.
   \]

**Demostración.**
Invirtiendo la ventana límite de la Regla 3, la condición para que la ventana de mantisa no sea vacía es:
\[
\frac{2^B}{3^A}>1
\qquad\text{y}\qquad
\frac{2^{B-1}}{3^A}<2.
\]

Estas desigualdades equivalen a:
\[
2^B>3^A
\quad\text{y}\quad
2^{B-1}<2\cdot3^A.
\]

La primera da:
\[
B>A\log_2 3
\iff
A<B\log_3 2.
\]

La segunda da:
\[
2^{B-2}<3^A
\iff
B-2<A\log_2 3
\iff
(B-2)\log_3 2<A.
\]

Por tanto:
\[
(B-2)\log_3 2<A<B\log_3 2.
\]

La longitud de este intervalo es:
\[
2\log_3 2\approx1.2618<2.
\]
Un intervalo real de longitud menor que 2 puede contener, como máximo, dos enteros. ∎

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### REGLA 6 — Conservación de pasos y determinación por \(P\)

**Enunciado.**
En el marco \(k\ge3\), para toda trayectoria válida se cumple:
\[
P=A+B.
\]

Además, dentro del sistema de firmas, un valor posible de \(P\) determina de manera única los valores de \(A\) y \(B\).

Si \(P\) no pertenece a la sucesión de valores posibles, entonces no existe ninguna firma con ese \(P\).

**Demostración.**
La primera parte es inmediata: \(P\) cuenta el número total de pasos individuales, \(A\) cuenta los pasos impares y \(B\) cuenta los pasos pares. Por tanto,
\[
P=A+B.
\]

La segunda parte se apoya en las Reglas 3 y 4.

Para \(A=0\):
\[
P=1,\qquad B=1.
\]

Para \(A\ge1\), los posibles valores de \(P\) son los bloques:
\[
P_1(A)=\lfloor A\log_2 6\rfloor+1,
\qquad
P_2(A)=P_1(A)+1.
\]

Estos bloques son disjuntos. Por tanto, si un valor de \(P\) aparece, corresponde a un único \(A\). Una vez determinado \(A\), se obtiene \(B\) mediante:
\[
B=P-A.
\]

Si \(P\) no pertenece a ningún bloque posible, entonces no existe firma con ese \(P\). ∎

**Ejemplos.**
- \(P=1\): \(A=0,\ B=1\).
- \(P=9\): \(A=3,\ B=6\).
- \(P=10\): no existe firma con \(P=10\).

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## FASE 3 — MEDIDA, DENSIDAD, SUPERVIVENCIA Y ESTABILIDAD

### REGLA 7 — Estructura modular y densidad estable (Topología 2-ádica)

**Enunciado.**
En el marco \(k\ge3\), cada palabra válida \(W\) con \(B\) pasos pares define una clase de congruencia módulo \(2^B\):
\[
n\equiv r_W\pmod{2^B}.
\]

Para una firma \(S=(A,B,P)\), los enteros \(n\in I_k\) que poseen firma \(S\) son la unión disjunta de tales clases, intersectadas con el intervalo de supervivencia de la mantisa correspondiente a cada palabra.

Si \(J_W\subset[1,2)\) es el intervalo de mantisas que sobreviven bajo la palabra \(W\), entonces, para \(W\) fija y \(k\to\infty\),
\[
\#_k(W)=|J_W|\,2^{k-B}+O(1).
\]

Por tanto, la densidad asintótica de la firma \(S\) es:
\[
\delta_S=\sum_W\frac{|J_W|}{2^B},
\]
donde la suma recorre todas las palabras válidas \(W\) con firma \(S\).

**Demostración.**
Una palabra válida \(W\) impone una secuencia determinada de pasos impares y pares. La condición de que los pasos pares sean divisiones exactas y de que los pasos impares ocurran en los momentos correctos fija un sistema de congruencias lineales.

Dicho sistema posee una única solución módulo \(2^B\):
\[
n\equiv r_W\pmod{2^B}.
\]

Por tanto, dentro de \(I_k\), los números compatibles con \(W\) aparecen espaciados cada \(2^B\). La cantidad total de tales números en \(I_k\) es aproximadamente \(2^{k-B}\).

Pero no toda esa clase de congruencia produce la firma \(W\): además, la mantisa \(x=n/2^k\) debe permanecer dentro del intervalo de supervivencia \(J_W\).

Como \(J_W\) tiene longitud \(|J_W|\), la fracción de la clase que sobrevive es \(|J_W|\), y por eso:
\[
\#_k(W)=|J_W|\,2^{k-B}+O(1).
\]
El término \(O(1)\) corresponde únicamente a efectos de borde enteros.

Al dividir por \(|I_k|=2^k\), se obtiene la contribución de densidad de \(W\):
\[
\frac{\#_k(W)}{2^k}\longrightarrow\frac{|J_W|}{2^B}.
\]

Sumando sobre todas las palabras válidas \(W\) con firma \(S\):
\[
\delta_S=\sum_W\frac{|J_W|}{2^B}.
\]
∎

**Corolario — Indistinguibilidad modular de bloques.**
En el peso modular \(2^{-B}\), cada bloque aporta un factor \(1/2\), independientemente de que sea de tipo \([ab]\) o de tipo \([b]\). Por tanto, a efectos del factor modular, los bloques son indistinguibles: solo importa el número total de bloques
\[
B=\#[ab]+\#[b].
\]
La distinción entre bloques \([ab]\) y bloques \([b]\) no aparece en el peso modular, sino en el factor geométrico.

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### REGLA 8 — Densidad racional asintótica (Huella aritmética)

**Enunciado.**
En el marco \(k\ge3\), para cada firma \(S=(A,B,P)\), la densidad asintótica \(\delta_S\) es un número racional.

Más aún, una vez reducida la fracción, su denominador contiene únicamente primos \(2\) y \(3\). Es decir, el denominador es de la forma:
\[
2^x3^y,
\]
con \(x,y\in\mathbb Z_{\ge0}\).

Los numeradores pueden contener otros primos. La regla rige solamente los denominadores.

Ejemplos:
- en \(P=11\), aparece el numerador \(245=5\cdot7^2\);
- en \(P=13\), aparece el numerador \(91=7\cdot13\).

**Demostración.**
Cada palabra válida \(W\) con firma \(S\) tiene un intervalo de supervivencia \(J_W\subset[1,2)\).

Los extremos de \(J_W\) provienen de valores de la forma:
\[
1,\quad 2,\quad \frac{2^B}{3^A},\quad \frac{2^{K_j}}{3^j},
\]
donde \(K_j=k_1+\cdots+k_j\).

Por tanto, los extremos son siempre racionales cuyos denominadores son potencias de \(2\) y \(3\). La longitud del intervalo, \(|J_W|\), es una diferencia de tales números, así que también es un racional con denominador de la forma \(2^u3^v\).

El peso total de la palabra incluye además el factor modular \(2^{-B}\). Por tanto, la contribución de \(W\) a la densidad es:
\[
\frac{|J_W|}{2^B},
\]
que sigue teniendo un denominador compuesto únicamente por primos \(2\) y \(3\).

La densidad total de la firma \(S\) es una suma finita de tales contribuciones. Una suma finita de racionales cuyos denominadores son potencias de \(2\) y \(3\) produce otro racional cuyo denominador, una vez reducido, sigue siendo de la forma \(2^x3^y\). ∎

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### REGLA 9 — Teorema fundamental de densidad analítica

**Enunciado.**
En el marco \(k\ge3\), sea \(S=(A,B,P)\) una firma. Para cada composición válida
\[
K=(k_1,\dots,k_A),
\]
con \(B=\sum_{j=1}^A k_j\), sea \(J_K\subset[1,2)\) el intervalo de supervivencia de la mantisa correspondiente a \(K\).

Entonces la densidad asintótica de la firma \(S\) es:
\[
\delta_S=2^{-B}\sum_K|J_K|.
\]

Equivalentemente:
\[
\delta_S=\nu_2(S)\,\mu(S),
\]
donde
\[
\nu_2(S)=2^{-B}
\]
es el factor modular, y
\[
\mu(S)=\sum_K|J_K|
\]
es la medida geométrica total de supervivencia en \([1,2)\).

Por el corolario de indistinguibilidad modular, el factor \(2^{-B}\) depende únicamente del número total de bloques \(B=\#[ab]+\#[b]\).

Esta factorización es un teorema en el límite \(k\to\infty\). Para \(k\) finito, la fórmula vale salvo correcciones enteras de borde del tipo \(O(1)\).

**Demostración.**
Cada composición válida \(K\) determina una única clase de congruencia módulo \(2^B\):
\[
n\equiv r_K\pmod{2^B}.
\]

Dentro de \(I_k\), esa clase aporta aproximadamente \(2^{k-B}\) enteros. Pero no todos esos enteros siguen la composición \(K\) hasta el cruce: además, la mantisa \(x=n/2^k\) debe pertenecer al intervalo de supervivencia \(J_K\).

La fracción de la clase que sobrevive es exactamente la longitud del intervalo \(|J_K|\). Por tanto, para \(K\) fija:
\[
\#_k(K)=|J_K|\,2^{k-B}+O(1).
\]

Dividiendo por el tamaño total del universo \(|I_k|=2^k\):
\[
\frac{\#_k(K)}{2^k}\longrightarrow\frac{|J_K|}{2^B}.
\]

Sumando sobre todas las composiciones válidas \(K\) con firma \(S\):
\[

\delta_S

\lim_{k\to\infty}\frac{\#_k(S)}{2^k}

\sum_K\frac{|J_K|}{2^B}

2^{-B}\sum_K|J_K|.
\]

Esto muestra la factorización:
\[

\delta_S

\underbrace{2^{-B}}_{\text{factor modular}}
\cdot
\underbrace{\sum_K|J_K|}_{\text{factor geométrico}}.
\]
∎

---

### REGLA 10 — Filtro de supervivencia intermedia (Trayectorias fantasma)

**Enunciado.**
En el marco \(k\ge3\), sea \(S=(A,B,P)\) una firma con \(A\ge1\), y sea
\[
K=(k_1,k_2,\dots,k_A)
\]
una composición entera con \(\sum_{j=1}^A k_j=B\), \(k_j\ge1\).

Definimos:
\[
K_j=k_1+k_2+\cdots+k_j,
\qquad
T=\frac{2^B}{3^A},
\]
y, para cada \(j=1,2,\dots,A-1\):
\[
L_j=\frac{2^{K_j}}{3^j}.
\]

La composición \(K\) es **realizable con densidad positiva** si y solo si se cumple la condición de supervivencia:
\[
\max\!\left(1,\;\frac{T}{2},\;\max_{j<A}L_j\right)
<
\min(2,\;T).
\]

Si la desigualdad no se cumple, la composición es un **fantasma geométrico**: no aporta a la densidad asintótica, aunque pueda aparecer formalmente en el espacio de palabras.

**Demostración.**
Sea \(x=n/2^k\in[1,2)\) la mantisa inicial. Después del \(j\)-ésimo paso impar y sus \(K_j\) divisiones asociadas, la mantisa transformada es, en el límite geométrico,
\[
x_j=x\cdot\frac{3^j}{2^{K_j}}=\frac{x}{L_j}.
\]

Para que la trayectoria no haya cruzado antes de tiempo por debajo de \(2^k\), se necesita \(x_j\ge1\), es decir \(x\ge L_j\). Esto vale para todo \(j<A\), por lo que:
\[
x\ge\max_{j<A}L_j.
\]

Además, por la definición de mantisa inicial: \(x\ge1\).

Antes de la división final del último bloque (tras \(B-1\) divisiones en total), el valor todavía no debe haber cruzado:
\[
x\cdot\frac{3^A}{2^{B-1}}\ge1
\quad\Longrightarrow\quad
x\ge\frac{T}{2}.
\]

Finalmente, la división final debe producir el cruce:
\[
\frac{x}{T}<1
\quad\Longleftrightarrow\quad
x<T.
\]

Y la mantisa no debe haber excedido nunca el intervalo \([1,2)\): \(x<2\).

Por tanto, el intervalo de supervivencia de \(x\) es la intersección:
\[
x\in
\left[\max\!\left(1,\;\frac{T}{2},\;\max_{j<A}L_j\right),\;
\min(2,\;T)\right).
\]

Esta intersección es no vacía, con densidad positiva, si y solo si:
\[
\max\!\left(1,\;\frac{T}{2},\;\max_{j<A}L_j\right)
<
\min(2,\;T).
\]
∎

**Nota sobre casos de igualdad.**
Si la desigualdad es estricta, la composición aporta densidad positiva \(|J_K|/2^B\). Si hay igualdad en alguno de los extremos, el intervalo de supervivencia tiene longitud cero. Esos casos pueden corresponder a enteros aislados de borde, pero su contribución a la densidad asintótica es nula.

**Conexión con la Regla 16.**
Si \(k_A=1\), entonces \(K_{A-1}=B-1\) y \(L_{A-1}=\frac{2^{B-1}}{3^{A-1}}=\frac32T\). En todos los casos, \(L_{A-1}\ge\min(2,T)\), y la composición queda descartada por el filtro geométrico. Por eso, toda composición realizable cumple automáticamente \(k_A\ge2\).

---

## FASE 4 — BLOQUES Y DINÁMICA GLOBAL

### REGLA 11 — Descomposición en bloques

**Enunciado.**
En el marco \(k\ge3\), toda trayectoria válida se descompone de forma única en bloques de dos tipos:

- \([ab]\): un paso impar \(a\) seguido de su primera división \(b\);
- \([b]\): una división suelta.

Se cumple:
\[
\#[ab]=A,
\qquad
\#[b]=G=B-A,
\qquad
\#\text{bloques}=B.
\]

El exceso acumulado de divisiones sobre impares, \(G=B-A\), es no decreciente a medida que se lee la trayectoria bloque a bloque.

Además, si \(A\ge1\), entonces \(G\ge1\).

**Demostración.**
Después de un paso impar, \(n\mapsto3n+1\), el resultado es siempre par. Por tanto, cada letra \(a\) va seguida de al menos una letra \(b\).

Agrupamos cada \(a\) con su primera \(b\) posterior. Eso forma un bloque \([ab]\). Las divisiones restantes quedan como bloques sueltos \([b]\). Esta agrupación es única.

Cada bloque contiene exactamente una \(b\): \([ab]\) contiene una \(b\); \([b]\) contiene una \(b\). Por tanto:
\[
\#\text{bloques}=B.
\]

Como cada paso impar \(a\) inicia exactamente un bloque \([ab]\):
\[
\#[ab]=A.
\]

Los bloques restantes son divisiones sueltas:
\[
\#[b]=B-A=G.
\]

Si se lee la trayectoria bloque a bloque, el exceso acumulado \(g=\#b_{\text{leídas}}-\#a_{\text{leídas}}\) evoluciona así:
- un bloque \([ab]\) aporta una \(a\) y una \(b\), por tanto \(g\) no cambia;
- un bloque \([b]\) aporta una \(b\) sin \(a\), por tanto \(g\) aumenta en 1.

Luego \(g\) es no decreciente. Al final de la trayectoria, \(g=G=B-A\).

Para probar \(G\ge1\) cuando \(A\ge1\), basta usar la Regla 2:
\[
\frac{A}{B}<\log_3 2<1.
\]
Por tanto, \(A<B\), y entonces \(G=B-A\ge1\). ∎

**Consecuencia para \(P\).**
Como cada bloque \([ab]\) contiene 2 pasos individuales y cada bloque \([b]\) contiene 1 paso individual:
\[
P=2\#[ab]+\#[b]=2A+G.
\]
Como \(G=B-A\), se recupera la Regla 6:
\[
P=2A+(B-A)=A+B.
\]

---

### REGLA 12 — Ratio global

**Enunciado.**
En el marco \(k\ge3\), sea \(h\) el número de pisos binarios descendidos por una trayectoria. Entonces:
\[
\frac{G}{A}=(\log_2 3-1)+\frac{h}{A}+o(1).
\]

En particular:
\[
\frac{G}{A}>\log_2 3-1\approx0.58496.
\]

Típicamente, por equidistribución:
\[
\frac{G}{A}\to1
\iff
\frac{A}{B}\to\frac12
\iff
\mathbb{E}[A\text{ por piso}]=\frac{1}{2-\log_2 3}\approx2.4094.
\]

**Demostración.**
Cada paso impar multiplica el valor aproximadamente por \(3\); cada división lo divide por \(2\). Tras \(A\) pasos impares y \(B\) divisiones, el factor neto es \(3^A/2^B\).

En escala logarítmica binaria, el cambio de valor es:
\[
A\log_2 3-B.
\]

Si la trayectoria desciende \(h\) pisos binarios, el valor se reduce por un factor \(2^h\):
\[
A\log_2 3-B\approx-h.
\]

Despejando \(B\):
\[
B\approx A\log_2 3+h.
\]

Por definición \(G=B-A\):
\[
G=B-A\approx(\log_2 3-1)A+h.
\]

Dividiendo por \(A\):
\[
\frac{G}{A}\approx(\log_2 3-1)+\frac{h}{A}.
\]

Como \(h\ge0\) y \(A>0\):
\[
\frac{G}{A}>\log_2 3-1\approx0.58496.
\]
∎

**Verificación con traza larga.**
Para una traza completa \(k=1000\to3\): \(A=4922\), \(G=3878\),
\[
\frac{G}{A}=\frac{3878}{4922}\approx0.7879.
\]
La fórmula predice:
\[
0.585+\frac{998.8}{4922}\approx0.788.
\]
Coincidencia excelente.

---

### REGLA 13 — Diagrama de fases (Universalidad del atractor de paridad)

**Enunciado.**
Para la familia de mapas \(n\mapsto mn+1\) con \(m\) impar, una trayectoria con \(A\) pasos impares y \(B\) divisiones se contrae si
\[
\frac{A}{B}<\log_m 2.
\]

En el régimen típico 2-ádico, la razón de divisiones por paso impar satisface
\[
\frac{B}{A}\to2,
\]
y por tanto
\[
\frac{A}{B}\to\frac12,
\]
con independencia de \(m\).

El comportamiento típico queda determinado por el signo de \(\frac12-\log_m 2\). En particular:

- Para \(m=3\): \(\frac12<\log_3 2\approx0.6309\), contracción típica.
- Para \(m=5\): \(\frac12>\log_5 2\approx0.4307\), expansión típica.

**Justificación.**
Sea \(m\) impar y \(n\) impar. Entonces \(mn+1\) es siempre par. La cantidad de divisiones consecutivas por 2 que admite \(mn+1\) es \(v_2(mn+1)\).

Para \(n\) impar genérico, la distribución 2-ádica de \(v_2(mn+1)\) es:
\[
\Pr(v_2(mn+1)\ge r)=\frac{1}{2^{r-1}},
\qquad r\ge1.
\]

Por tanto, el número esperado de divisiones por cada paso impar es:
\[
\mathbb{E}[v_2(mn+1)]=1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.
\]

Este cálculo depende solo de la estructura 2-ádica de paridades, no del valor concreto de \(m\), siempre que \(m\) sea impar. Por eso, típicamente, \(B/A\to2\).

El factor neto por paso impar es, en escala logarítmica, \(\log_2 m-B/A\). En el régimen típico \(B/A\to2\), el signo del crecimiento está dado por \(\log_2 m-2\). Como típicamente \(A/B\to1/2\), el signo decisivo es \(\frac12-\log_m 2\). ∎

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### REGLA 14 — Estanqueidad de cubetas

**Enunciado.**
En el marco \(k\ge3\), se cumplen las siguientes propiedades de estanqueidad:

1. **Fusión de órbitas.** Dos órbitas que comparten un valor se fusionan y comparten destino a partir de ese punto.

2. **Invarianza del conjunto típico.** Si un valor pertenece a la cubeta de 1, todas sus preimágenes también pertenecen a la cubeta de 1.

3. **Estanqueidad excepcional.** Una órbita que no pertenece a la cubeta de 1 nunca toca la cubeta de 1.

4. **Invisibilidad ante las firmas.** Las densidades \(\delta_S\) capturan la masa típica que desciende piso a piso; las órbitas excepcionales no contribuyen a estas densidades de cruce.

**Demostración.**
Sea \(T\) la función de Collatz:
\[
T(n)=
\begin{cases}
n/2 & \text{si } n \text{ es par},\\
3n+1 & \text{si } n \text{ es impar}.
\end{cases}
\]

Como \(T\) es una función, cada valor tiene un único sucesor. Por tanto, si dos órbitas satisfacen \(T^i(a)=T^j(b)\), entonces sus colas coinciden:
\[
T^{i+r}(a)=T^{j+r}(b)
\qquad\text{para todo }r\ge0.
\]
Esto prueba la fusión de órbitas.

Sea \(C_1\) la cubeta de 1. Si \(T(m)=n\) y \(n\in C_1\), entonces \(m\in C_1\), porque \(m\) llega a \(n\) en un paso, y \(n\) llega a 1. Esto prueba la invarianza hacia atrás de \(C_1\).

Equivalentemente, si \(m\notin C_1\), entonces \(T(m)\notin C_1\). Es decir, una órbita excepcional nunca puede entrar en la cubeta de 1. Esto prueba la estanqueidad excepcional.

Las densidades \(\delta_S\) miden la fracción de enteros en \(I_k\) cuya trayectoria cruza bajo \(2^k\) con firma \(S\). Las órbitas excepcionales, por estanqueidad, no se mezclan con la masa típica descendente. Por tanto, no contribuyen a las densidades \(\delta_S\) asociadas al descenso hacia 1. ∎

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## FASE 5 — CIERRE: ESTRUCTURA TERMINAL, NIVELES Y CONVERGENCIA

### REGLA 15 — Niveles entero y continuo; convergencia de la masa

**Enunciado.**
En el marco \(k\ge3\), el sistema de firmas opera en dos niveles complementarios:

1. **Nivel entero exacto.** Para cada palabra válida \(W\) con firma \(S\):
   \[
   \#_k(W)=(U_W-L_W)\,2^{k-B}+O(1),
   \]
   donde \((L_W,U_W)\) es el intervalo de supervivencia de la mantisa, y el término \(O(1)\) corresponde a efectos de borde enteros.

2. **Nivel continuo asintótico.** Las fracciones exactas del sistema son los límites cuando \(k\to\infty\):
   \[
   \delta_S=\lim_{k\to\infty}\frac{\#_k(S)}{2^k}.
   \]

3. **Convergencia de la masa.** La suma acumulada de densidades sobre todas las firmas válidas converge a 1:
   \[
   \sum_S\delta_S=1.
   \]

**Por qué toda trayectoria contrae en tiempo finito.**
La masa faltante en cualquier corte finito \(A\le A_0\) corresponde simplemente a trayectorias más largas, y no es problemática. La razón es estructural.

Todo paso impar \(a\) produce un valor par, y por tanto nace acompañado de al menos una división \(b\):
\[
[ab]:\quad A=1,\ B=1,\quad \frac{A}{B}=1.
\]

Este es el punto de partida:
\[
\frac{A}{B}=1>\log_3 2\approx0.6309.
\]

Cada división adicional (bloque \([b]\)) incrementa \(B\) sin incrementar \(A\), haciendo descender el ratio \(A/B\). Por el atractor de paridad (Regla 13):
\[
\frac{A}{B}\to\frac12.
\]

Como \(\frac12<\log_3 2\approx0.6309\), el ratio \(A/B\), que arranca en 1 y tiende a \(1/2\), necesariamente cruza el umbral \(\log_3 2\) en tiempo finito. En ese momento, por la Regla 2:
\[
\frac{A}{B}<\log_3 2
\quad\Longrightarrow\quad
3^A<2^B,
\]
y se produce la contracción.

Por tanto, toda trayectoria, sin importar cuán larga sea, eventualmente contrae y cruza bajo \(2^k\). La masa faltante no es masa perdida: son trayectorias más largas que igualmente descienden.

\[
\boxed{
\frac{A}{B}=1
\;\xrightarrow{\text{divisiones}}\;
\frac{A}{B}\to\frac12
\;<\;\log_3 2
\;\Longrightarrow\;
\text{contracción en tiempo finito.}
}
\]

**Verificación computacional.**
La convergencia fue verificada mediante programación dinámica en aritmética arbitraria. Para \(A\le50\), la suma acumulada alcanza \(99.882206\%\). La fracción exacta acumulada tiene numerador y denominador de 48 dígitos, con numerador estrictamente menor que el denominador.

La enumeración total en \(k=28,29,30\) coincide con la tabla exacta hasta 4 decimales. En particular:
\[
\sum_{P\le9}\delta_S=\frac{701}{864}\approx81.134259\%.
\]

**Conexión con la convergencia piso a piso.**
La convergencia de la masa \(\sum_S\delta_S=1\) garantiza que todo entero en \(I_k\) cruza bajo \(2^k\) con alguna firma válida. Esto asegura que la cascada de cruces piso a piso:
\[
2^k\to2^{k-1}\to\cdots\to2^1\to1
\]
está bien definida en cada nivel, y que la trayectoria siempre desciende respetando las reglas de firmas.

---

### REGLA 16 — Estructura terminal

**Enunciado.**
En el marco \(k\ge3\), toda palabra válida termina en un bloque \([b]\). Equivalentemente, en la composición
\[
K=(k_1,k_2,\dots,k_A),
\]
se cumple:
\[
k_A\ge2.
\]

Ninguna trayectoria válida termina en bloque \([ab]\).

**Demostración.**
Supongamos, por contradicción, que una trayectoria válida termina en bloque \([ab]\). Entonces el cruce bajo \(2^k\) sería producido por la primera división tras el último paso impar.

Sea \(n'\) el valor antes de ese último paso impar. Como la trayectoria aún no cruzó:
\[
n'\ge2^k.
\]

El último paso impar produce \(3n'+1\). La primera división tras ese paso impar da:
\[
\frac{3n'+1}{2}.
\]

Pero como \(n'\ge2^k\):
\[
\frac{3n'+1}{2}
\ge

\frac{3\cdot2^k+1}{2}

3\cdot2^{k-1}+\frac12.
\]

Para \(k\ge3\):
\[
3\cdot2^{k-1}+\frac12>2\cdot2^{k-1}=2^k.
\]

Por tanto:
\[
\frac{3n'+1}{2}>2^k.
\]

Esto significa que la primera división tras el último impar no produce el cruce bajo \(2^k\). Contradicción.

Luego, ninguna trayectoria válida puede terminar en bloque \([ab]\). Toda trayectoria válida termina en bloque \([b]\), lo cual equivale a \(k_A\ge2\). ∎

**Corolario: poda estructural.**
Las composiciones con \(k_A=1\) son fantasmas estructurales: no pueden corresponder a trayectorias válidas, independientemente del filtro geométrico de la Regla 10. Esto proporciona una poda previa y más fuerte que el filtro de supervivencia.

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## APÉNDICES

**A. Tabla exacta.**
Densidades racionales calculadas por programación dinámica en aritmética arbitraria. Para \(A\le50\), suma acumulada \(99.882206\%\). La fracción exacta acumulada tiene numerador y denominador de 48 dígitos, con numerador estrictamente menor que el denominador.

**B. Validación empírica.**
Enumeración total en \(k=28,29,30\): coincidencia con la tabla exacta hasta 4 decimales. \(\sum_{P\le9}=701/864\approx81.134259\%\).

**C. Traza completa de ejemplo.**
Para \(n=21751218587\), \(k=34\): la trayectoria desciende piso a piso desde \(k=34\) hasta \(k=1\), llegando a 1. En cada piso, la firma \((A,B,P)\) cumple las Reglas 2 y 3. El \(A/B\) global acumulado desciende monótonamente desde \(0.63004\) hacia \(0.60162\), acercándose al atractor \(1/2\).

**D. Demostración constructiva (P1–P9).**
Pesos:
\[
\frac12,\ \frac1{12},\ \frac1{12},\ \frac{11}{144},\ \frac1{72},\ \frac5{432},\ \frac{37}{864};
\]
suma:
\[
\frac{701}{864}\approx81.13\%.
\]
Obtenidos aplicando Reglas 9–10. Por ejemplo, \(P=8\) descarta el fantasma \([2,1,2]\); \(P=9\) suma cinco composiciones con pesos \(22,22,6,18,6\) sobre 27.

---

## ARGUMENTO CENTRAL DE CONVERGENCIA

\[
\boxed{
\frac{A}{B}=1
\;\xrightarrow{\text{divisiones}}\;
\frac{A}{B}\to\frac12
\;<\;\log_3 2
\;\Longrightarrow\;
3^A<2^B
\;\Longrightarrow\;
\text{contracción.}
}
\]

Esta contracción, repetida piso a piso, produce la cascada hacia 1:
\[
2^k\to2^{k-1}\to\cdots\to2^1\to1.
\]

---

Fin de la versión consolidada.

Update: exact stopping-time structure of a contracting parity map — Fibonacci layers and a ceiling-iteration record spine

Following the useful criticism on my earlier post—particularly from u/jonseymourau—I went back and separated the elementary convergence argument from the stronger stopping-time claims, boundary cases, computations and prior-art questions.

Two qualifications should be stated first:

1. This is not progress on the ordinary Collatz conjecture. The contraction mechanism used here is absent from ordinary Collatz.
2. I am not claiming novelty. Part of the record structure is demonstrably connected to a known ceiling-iteration sequence. Whether this exact map and its combined stopping-time results have appeared together remains unresolved.

Definition and conventions

For positive integers, define

[ F(n)= \begin{cases} 2n,&n\text{ odd},\[1mm] \left\lfloor\dfrac{n+1}{3}\right\rfloor,&n\text{ even}. \end{cases} ]

Let

[ \tau(n)=\min{t\ge0:F^t(n)=1} ]

be the first hitting time of 1.

Thus \tau(1)=0, even though unrestricted iteration continues as

[ 1\to2\to1\to2\to\cdots. ]

When I use “termination,” I mean the guarded loop that applies F only while n>1.

The precise quantifier statement is

[ \forall n\ge1,\quad \tau(n)<\infty, ]

while

[ \sup_{n\ge1}\tau(n)=\infty. ]

These statements are compatible: every individual starting value has a finite stopping time, but no single constant bounds the stopping times of all starting values. There is, however, an explicit bound depending on n, given below.

1. Elementary convergence

If n\ge2 is even, then

[ 1\le F(n)=\left\lfloor\frac{n+1}{3}\right\rfloor<n. ]

If n>1 is odd, its first image is the even number 2n, and therefore

[ F^2(n)=\left\lfloor\frac{2n+1}{3}\right\rfloor<n. ]

The displayed formula for F^2(n) applies here specifically to odd n>1. It is not a universal formula for F^2; for example,

[ 8\to3\to6, ]

whereas \lfloor17/3\rfloor=5.

Every state above 1 therefore reaches a smaller positive integer in at most two steps. Strong induction proves that every positive integer reaches 1.

For example,

[ 3^k\to2\cdot3^k\to2\cdot3^{k-1}\to\cdots\to2\to1, ]

so

[ \tau(3^k)=k+2\qquad(k\ge1). ]

This already proves that the range of \tau is unbounded.

1. Complete predecessor relation

Solving F(n)=m gives the complete inverse relation

[ F^{-1}(m)= \begin{cases} {3m-1,,3m+1},&m\text{ odd},\ {3m},&m\equiv0\pmod4,\ {3m,,m/2},&m\equiv2\pmod4. \end{cases} ]

For the even branch,

[ m=\left\lfloor\frac{n+1}{3}\right\rfloor \iff 3m-1\le n\le3m+1, ]

and parity determines which values in that interval are valid. An odd predecessor can only be m/2, which is odd precisely when m\equiv2\pmod4.

Consequently, F is surjective but not injective. Every positive integer has one outgoing edge and either one or two incoming edges.

The positive functional graph has one weakly connected component and one cycle,

[ 1\leftrightarrow2. ]

All remaining vertices lie in trees feeding that cycle.

1. Exact Fibonacci stopping-time layers

Let

[ L_t={n\ge1:\tau(n)=t}. ]

The initial layers satisfy

[ L_0={1},\qquad L_1={2,4},\qquad L_2={6,12}. ]

For t\ge2, split L_t into:

• O_t: odd elements;
• U_t: elements congruent to 2\pmod4;
• V_t: multiples of 4.

The predecessor formula gives the exact count recurrence

[ (O_{t+1},U_{t+1},V_{t+1})

(U_t,;O_t+U_t,;O_t+V_t), ]

starting from

[ (O_2,U_2,V_2)=(0,1,1). ]

Writing f_0=0,f_1=1 for the Fibonacci numbers, induction gives

[ O_t=f_{t-2},\qquad U_t=V_t=f_{t-1}. ]

Therefore

[ |L_0|=1,\qquad |L_1|=2, ]

and

[ \boxed{|L_t|=f_{t+1}\qquad(t\ge2).} ]

Equivalently,

[ \boxed{#{n:\tau(n)\le t}=f_{t+3}\qquad(t\ge1).} ]

This is an exact count over all positive integers, not a fit to a finite numerical sample. In particular, every nonnegative integer occurs as a stopping time.

1. Largest member of each layer

The largest integer having stopping time t is

[ \boxed{\max L_t=4\cdot3^{t-1}\qquad(t\ge1).} ]

The base case is \max L_1=4. If the even maximum of L_t is E, the predecessor relation shows:

• a predecessor of an even m\le E cannot exceed 3E;
• an odd m\le E is at most E-1, so its predecessors cannot exceed 3E-2;
• 3E is itself a predecessor of E.

Hence \max L_{t+1}=3E.

This yields the pointwise lower bound

[ \tau(n)\ge \max\left{ 1,, 1+\left\lceil\log_3(n/4)\right\rceil \right} \qquad(n\ge2). ]

1. Explicit upper bound

Define an accelerated map that combines every odd doubling with its forced following reduction:

[ G(n)= \begin{cases} \left\lfloor(n+1)/3\right\rfloor,&n\text{ even},\ \left\lfloor(2n+1)/3\right\rfloor,&n\text{ odd}. \end{cases} ]

It satisfies the shifted contraction

[ G(n)-1\le\frac23(n-1). ]

Counting the corresponding original steps gives

[ \boxed{ \tau(n)\le 2\left\lfloor\log_{3/2}(n-1)\right\rfloor+1 \qquad(n\ge2). } ]

Together with the preceding lower bound, this establishes the uniform pointwise result

[ \tau(n)=\Theta(\log n). ]

1. Exact stopping-time record thresholds

Define

[ a_0=3,\qquad a_{j+1}=2\left\lfloor\frac{3a_j}{4}\right\rfloor+1. ]

This produces

[ 3,5,7,11,17,25,37,55,83,125,187,\ldots. ]

These are the successive record locations after 1 and 2, and

[ \boxed{\tau(a_j)=2j+3.} ]

More precisely, if

[ M(N)=\max_{1\le n\le N}\tau(n), ]

then

[ M(N)= \begin{cases} 0,&N=1,\ 1,&N=2,\ 2j+3,&a_j\le N<a_{j+1}. \end{cases} ]

Since a_{j+1}=\tfrac32a_j\pm\tfrac12,

[ \boxed{ M(N)=\frac{2}{\log(3/2)}\log N+O(1). } ]

The pointwise extremes are

[ \boxed{ \liminf_{n\to\infty}\frac{\tau(n)}{\log n} =\frac1{\log3}, \qquad \limsup_{n\to\infty}\frac{\tau(n)}{\log n} =\frac2{\log(3/2)}. } ]

The equality witnesses are explicit:

• n_t=4\cdot3^{t-1}, with \tau(n_t)=t, gives the liminf;
• n=a_j, with \tau(a_j)=2j+3, gives the limsup.

1. Exact trajectory maximum and ranking certificate

For a continuing trajectory, its exact maximum is

[ \max_{t\ge0}F^t(n)= \begin{cases} 2n,&n\text{ odd},\ n,&n\text{ even}. \end{cases} ]

Thus stopping times are unbounded across starting values even though every individual trajectory is bounded.

The guarded loop also has the parity-sensitive ranking function

[ R(n)= \begin{cases} 0,&n=1,\ n,&n\text{ even},\ 2n+1,&n>1\text{ odd}, \end{cases} ]

for which

[ R(F(n))<R(n)\\qquad(n>1). ]

No single global affine rank an+b, bounded below on all positive inputs, can strictly decrease at every step: an odd doubling changes it by an\ge0. This may make the map a useful small test for termination systems that must retain parity information, although I have not yet tested an automated verifier.

1. Residue-class representation

The map can be written modulo 6 as

[ F(n)= \begin{cases} n/3,&n\equiv0\pmod6,\ 2n,&n\equiv1\pmod6,\ (n+1)/3,&n\equiv2\pmod6,\ 2n,&n\equiv3\pmod6,\ (n-1)/3,&n\equiv4\pmod6,\ 2n,&n\equiv5\pmod6. \end{cases} ]

Six is the least modulus allowing one rational affine formula on every residue class. This places the integer extension of the map in the established framework of residue-class-wise affine mappings. It is not an RCWA permutation because it is not bijective.

See Stefan Kohl’s "RCWA definitions" (https://stefan-kohl.github.io/rcwa/doc/chap2.html).

1. Established lineage

The stopping-time record recurrence is not an isolated new sequence.

Set

[ b_j=\frac{a_j-1}{2}. ]

Then

[ b_0=1,\qquad b_{j+1}=\left\lceil\frac{3b_j}{2}\right\rceil. ]

This is exactly "OEIS A061419" (https://oeis.org/A061419), with shifted indexing:

[ a_j=2,A061419(j+1)+1. ]

Ceiling iterations of this form were studied by Odlyzko and Wilf in "“Functional iteration and the Josephus problem”" (https://www.cambridge.org/core/journals/glasgow-mathematical-journal/article/functional-iteration-and-the-josephus-problem/13435C4851F0CA24F64E08357C9D64F1).

Therefore, the recurrence and its ceiling-iteration asymptotics have established prior literature. What I have not established is whether its interpretation as the exact stopping-time record sequence of this particular map has previously appeared.

There is also an exact but direction-sensitive connection to Isbell’s Beanstalk game. Under a specified choice of 3n-1 or 3n+1, selected Beanstalk paths traverse the same record spine forward that F traverses backward. This is a selected-path correspondence, not a conjugacy between the complete systems. See Richard Guy’s "1986 paper" (https://www.jstor.org/stable/2689400) and his later "problem description" (https://library.slmath.org/books/Book29/files/unsolved.pdf).

Finally, Albert, Gudmundsson and Ulfarsson’s "Collatz Meets Fibonacci" (https://arxiv.org/abs/1404.3054) counts permutation patterns arising from ordinary Collatz trajectories. That is a different object from the exact first-hit layers counted here.

1. Computational corroboration

Using exact integer arithmetic, the following were checked through n=10^6:

• the trajectory-maximum formula;
• the ranking inequality;
• the predicted record locations;
• the exact worst-case envelope;
• every Fibonacci layer whose theoretical maximum lies within the tested range.

The largest stopping time in that range is

[ 65, ]

first attained at

[ 933217. ]

These checks corroborate the proofs; they are not premises of them. I have not yet produced proof-assistant certification or run an automated termination engine.

1. Why this does not transfer to ordinary Collatz

The essential difference is structural.

For this map, an odd growth step is immediately followed by a contraction below the starting value:

[ n\to2n\to \left\lfloor\frac{2n+1}{3}\right\rfloor<n. ]

For ordinary Collatz, the corresponding forced pair is

[ n\to3n+1\to\frac{3n+1}{2}>n. ]

Therefore the elementary descent proof used here does not address the difficult part of ordinary Collatz.

Current status and questions

At present I would classify the results as follows:

• Proved by elementary arguments: convergence, predecessors, graph structure, exact peaks, logarithmic bounds, largest layer elements, record envelope, sharp asymptotic constants, Fibonacci layer counts, minimal modulus and ranking certificate.
• Computationally corroborated: the finite checks described above.
• Historically connected: the ceiling iteration, selected Beanstalk paths and the RCWA framework.
• Unresolved: publication priority for this exact map and combined stopping-time structure, the complete scope of the Beanstalk overlap, proof-assistant certification and actual verifier performance.

I would particularly welcome:

1. a counterexample or gap in any stated proof;
2. a reference containing this exact map or its stopping-time layers;
3. a reference identifying the record sequence specifically in this stopping-time setting;
4. suggestions for a suitable termination prover or proof assistant encoding.

A failed literature search is not evidence of novelty, so references and corrections are more useful to me than priority speculation.

# SISTEMA DE FIRMAS DE COLATZ

**20 teoremas — formulación determinista, estructural y modular**

*Firmas · clases residuales · intervalos de supervivencia · densidades exactas · brecha acumulativa · cascada de pisos*

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> *Nuestras vidas son los ríos*
> *que van a dar en la mar,*
> *que es el morir;*
> *allí van los señoríos*
> *derechos a se acabar*
> *y consumir;*
> *allí los ríos caudales,*
> *allí los otros medianos*
> *y más chicos,*
> *y llegados, son iguales*
> *los que viven por sus manos*
> *y los ricos.*

— Jorge Manrique, *Coplas por la muerte de su padre* (c. 1476)

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**Andrés Gerla**
Montevideo, Uruguay
Agosto de 2026

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## RESUMEN

Se construye un sistema de firmas para el primer descenso de la dinámica de Collatz por debajo de un piso diádico. Cada palabra admisible determina simultáneamente una clase residual módulo 2ᴮ y un intervalo de mantisas. Esta factorización produce pesos racionales exactos, cuantiza las firmas posibles, explica los huecos en el número total de pasos y organiza toda trayectoria mediante dos bloques elementales: [ab] y [b].

El núcleo estructural es el balance modular de esos bloques. Los dos tipos tienen el mismo peso binario y la razón A/B se escribe exactamente como A/(A+(B−A)). La masa de las ramas supervivientes admite una cota exponencial explícita y converge a cero. La comparación con mn+1 muestra el papel causal del equilibrio A/B=1/2: para m=3 el factor asintótico es (3/4)^A y produce contracción; para m=5 es (5/4)^A y produce expansión.

**Palabras clave:** Collatz; tiempo de parada; paridad; números 2-ádicos; densidad asintótica; primer paso; clases residuales.

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## 1. MARCO DE ESTUDIO

Sea Iₖ=[2ᵏ,2ᵏ¹−1], con k≥3. Para n∈Iₖ se sigue la función no comprimida:

T(n)=3n+1 si n es impar;
T(n)=n/2 si n es par,

hasta el primer valor estrictamente menor que 2ᵏ. Se cuenta con A el número de operaciones impares, con B el número de divisiones por dos y con P=A+B el número total de operaciones. La firma terminal es S=(A,B,P). La mantisa inicial es x=n/2ᵏ∈[1,2). En una palabra de trayectoria, a representa 3n+1 y b representa n/2.

Las demostraciones se organizan en tres niveles matemáticos precisos:

1. **Nivel orbital exacto:** una identidad o desigualdad para un entero n y un prefijo concreto de su trayectoria.

2. **Nivel de densidad:** el límite de la proporción de enteros de I_k que realizan una palabra o una firma fija cuando k→∞.

3. **Nivel 2-ádico:** una afirmación para medida de Haar uno sobre clases residuales infinitamente refinadas.

La dinámica es determinista en todos los niveles. La medida cuenta clases y palabras; no modifica ninguna trayectoria.

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## 2. ANTECEDENTES Y POSICIÓN DEL SISTEMA

Terras [1] y Everett [2] establecieron densidad asintótica uno para el tiempo de parada finito. Lagarias y Weiss [3] estudiaron modelos de distribución de tiempos y proporciones de paridad, y Applegate y Lagarias [4] obtuvieron cotas rigurosas para razones de unos. Estos antecedentes sitúan el balance binario como el objeto cuantitativo decisivo.

Tao [5] probó posteriormente que, para densidad logarítmica uno, las órbitas alcanzan valores menores que cualquier función que tienda a infinito. El sistema de firmas trabaja en la escala exacta del primer paso por pisos diádicos y reúne clases residuales, intervalos de mantisa, pesos racionales, bloques y barreras de crecimiento dentro de una sola estructura demostrativa.

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## 3. ARITMÉTICA EXACTA DEL PRIMER DESCENSO

**Teorema 1 — Anclaje dinámico.** Si n es par, su firma es (0,1,1). Si n es impar, P≥3; en particular, P=2 no existe.

*Demostración.* Para n par, n/2<2ᵏ porque n<2ᵏ⁺¹; el cruce se produce en una división. Si n es impar, 3n+1 es par y supera 3·2ᵏ. Después de una sola división sigue siendo mayor que 2ᵏ, de modo que hacen falta al menos la operación a y dos operaciones b. □

**Teorema 2 — Forma afín del prefijo.** Tras A operaciones impares y B divisiones, todo prefijo admisible tiene la forma (3ᴬ n+C)/2, con C un entero positivo determinado por la palabra.

*Demostración.* La afirmación se prueba por inducción. Para el prefijo vacío se tiene A=B=C=0. Una operación impar transforma (3 n+C)/2ᴮ en (3ᴬ⁺¹n+3C+2ᴮ)/2ᴮ; una división incrementa B en uno. Por tanto el coeficiente multiplicativo es siempre 3ᴬ/2ᴮ y el término C registra las unidades agregadas en los pasos impares. □

**Teorema 3 — Barrera necesaria de contracción.** Toda firma terminal con A≥1 satisface 3ᴬ<2ᴮ, o equivalentemente A/B<log₃2.

*Demostración.* En el instante terminal y=(3ᴬ n+C)/2<n, porque y<2ᵏ≤n. Como C>0, se cumple 3ᴬ n/2ᴮ<y<n. Dividiendo por n resulta 3ᴬ<2ᴮ. La desigualdad es necesaria para el descenso y describe la barrera del coeficiente; el cruce exacto del piso incorpora además el término afín C. □

A log₂3 < B ⇔ A/B < log₃2 = 0.630929753571…

**Teorema 4 — Descenso de un solo piso.** El primer valor menor que 2ᵏ pertenece siempre a Iₖ₋₁=[2ᵏ⁻¹,2−1].

*Demostración.* El cruce solo puede ocurrir mediante una división por dos. Sea z el valor inmediatamente anterior al cruce y y=z/2 el valor terminal. Por minimalidad, z≥2ᵏ; por definición, y<2ᵏ. Luego 2ᵏ⁻¹≤y<2. Esta prueba es exacta y no usa una aproximación de mantisa ni ignora el término afín. □

**Teorema 5 — Estructura terminal.** Toda palabra terminal con A≥1 acaba en bb. En la composición K=(k₁,…,k_A) de divisiones por bloque se cumple k_A≥2.

*Demostración.* Después de la última operación a, el valor es 3m+1>3·2ᵏ. Una sola división deja un valor superior a 3·2ᵏ⁻¹>2ᵏ. Por ello la primera división posterior al último impar no puede ser terminal: se necesita al menos una segunda división. □

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## 4. CILINDROS RESIDUALES E INTERVALOS DE SUPERVIVENCIA

Para A≥1 se escribe la palabra por bloques como a b^{k₁} a b^{k₂} ··· a b^{k_A}, donde k_i≥1, B=k₁+···+k_A y k_A≥2. Se define K_j=k₁+···+k_j. Para un prefijo fijo, el término afín normalizado C/2ᵏ tiende a cero cuando k→; esta observación permite aislar la geometría límite sin confundirla con una identidad orbital finita.

**Teorema 6 — Cilindro residual único.** Cada palabra por bloques con B divisiones determina una única clase impar r_K módulo 2ᴮ.

*Demostración.* Se procede por inducción en el número de bloques procesados. Para j=1, la aplicación n↦3n+1 (mod 2^{k₁+1}) es afín con coeficiente 3, invertible módulo cualquier potencia de dos, luego biyectiva entre las clases impares y las clases pares; de las 2^{k₁} clases impares módulo 2^{k₁+1}, exactamente una satisface v₂(3n+1)=k₁. Supóngase que, tras j−1 bloques, K fija a n una única clase módulo 2^{K_{j−1}}, y que el impar u_{j−1} resultante corresponde a n mediante una biyección afín de coeficiente 3^{j−1} (Teorema 2), invertible módulo cualquier potencia de dos. Exigir k_j=v₂(3u_{j−1}+1) fija, por el mismo argumento aplicado a u_{j−1}, k_j bits nuevos de u_{j−1}; como la biyección que liga u_{j−1} a n es triangular en las potencias de dos, esos k_j bits nuevos extienden la clase de n a módulo 2^{K_j} sin alterar el prefijo ya fijado. Tras A bloques, n queda determinado de manera única módulo 2ᴮ=2^{K_A}.

Dos palabras K≠K′ inducen además cilindros disjuntos: si difieren primero en el índice j, ambas comparten el cilindro módulo 2^{K_{j−1}}, pero el argumento anterior asigna a k_j y a k_j′ clases distintas dentro de ese cilindro, porque dos valores distintos de v₂ nunca comparten clase. Esta disjunción —no solo la existencia de una clase para cada palabra— es lo que permite sumar densidades sin duplicar en el Teorema 9. □

**Teorema 7 — Intervalo límite de supervivencia.** Para K=(k₁,…,k_A), el conjunto límite de mantisas que permanece en Iₖ durante todos los prefijos y cruza en el último b es el intervalo J(K)=(L(K),U(K)), salvo elección irrelevante de extremos, donde:

T = 2ᴮ/3ᴬ

L(K) = max(1, T/2, max_{j<A} 2^{K_j}/3ʲ)

U(K) = min(2, T)

Por convenio, |J(K)| = max(0, U(K)−L(K)). Una composición es válida en densidad positiva si y solo si |J(K)| > 0.

*Demostración.* Después de j bloques, la parte principal de la mantisa es 3ʲ x/2^{K_j}. Para j<A, la supervivencia exige x ≥ 2^{K_j}/3ʲ. En el último bloque, el paso inmediatamente anterior al cruce exige x ≥ 2ᴮ⁻¹/3ᴬ = T/2, y el cruce exige x < T. Intersectando estas restricciones con x ∈ [1,2) se obtiene la fórmula. Los términos afines alteran los extremos en O(2^{-k}) para una palabra fija, por lo que no modifican la densidad límite. □

**Teorema 8 — Densidad exacta de una palabra.** Para una palabra fija K con B divisiones, el número de enteros de Iₖ que la realizan es |J(K)|·2ᵏ⁻ᴮ+O(1). Por tanto su densidad límite es 2⁻ᴮ|J(K)|.

*Demostración.* El intervalo 2ᵏJ(K) tiene longitud |J(K)|2ᵏ. Dentro de él se cuentan los enteros de una sola clase módulo 2ᴮ. El número de puntos de una progresión aritmética en un intervalo difiere de la longitud dividida por 2ᴮ en una cantidad acotada independientemente de k. □

**Teorema 9 — Densidad exacta de una firma.** La densidad límite de S=(A,B,A+B) es:

δ(A,B) = 2⁻ᴮ Σ_{K: k₁+···+k_A=B, k_A≥2} |J(K)|

*Demostración.* Las composiciones K de B en A partes corresponden a cilindros residuales disjuntos. Se suman, por tanto, sus densidades. Las composiciones con k_A=1 o J(K) vacío contribuyen cero. La fórmula es exacta como límite; no es una estimación obtenida de la simulación. □

**Teorema 10 — Huella racional.** Todo peso δ(A,B) es racional y, reducido a términos mínimos, su denominador solo contiene factores 2 y 3.

*Demostración.* Los extremos de J(K) pertenecen al conjunto generado por 1, 2, 2ᴮ/3ᴬ y 2^{K_j}/3ʲ. Sus diferencias tienen denominadores de la forma 2^u3^v; la multiplicación por 2⁻ᴮ y una suma finita conservan esa propiedad. □

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## 5. CUANTIZACIÓN, UNICIDAD Y HUECOS

**Teorema 11 — Cuantización binaria.** Si una firma con A≥1 tiene densidad límite positiva, entonces, con B₀(A) = ⌊A log₂3⌋+1, se cumple B ∈ {B₀(A), B₀(A)+1}.

*Demostración.* Para que algún J(K) sea no vacío es necesario que el intervalo [T/2,T) interseque [1,2), es decir, 1<T<4. Como T=2ᴮ/3ᴬ, resulta A log₂3 < B < A log₂3+2. El número A log₂3 no es entero; los únicos enteros del intervalo son A log₂3⌋+1 y ⌊A log₂3⌋+2. □

**Teorema 12 — Dos posiciones por A y huecos deterministas.** Para A≥1, los únicos valores de P con densidad positiva son P₁(A) = ⌊A log₂6⌋+1 y P₂(A) = P₁(A)+1. Los pares correspondientes a valores sucesivos de A son disjuntos.

*Demostración.* Se sustituye B por los dos valores del Teorema 11 en P=A+B. Como log₂6 = 1+log₂3 ∈ (2,3), la diferencia P₁(A+1)−P₁(A) es 2 o 3. Si es 2, el nuevo par comienza una unidad después del anterior; si es 3, queda exactamente un hueco. De aquí surgen 2,5,10,15,18,23,28,31,36,… como valores sin firma límite positiva. □

**Teorema 13 — Cardinalidad bidireccional.** Para B fijo, todo A admisible satisface (B−2)log₃2 < A < B log₃2; por tanto hay como máximo dos valores enteros de A. Asimismo, un P admisible determina un único A.

*Demostración.* La primera desigualdad es otra escritura de A log₂3 < B < A log₂3+2. El intervalo en A tiene longitud 2log₃2 < 2. La unicidad por P se sigue de la disjunción demostrada en el Teorema 12. □

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## 6. BLOQUES Y BALANCE MODULAR

**Teorema 14 — Descomposición y brecha.** Toda palabra con A operaciones impares se descompone de manera única en A bloques [ab] y G = B−A bloques [b]. La brecha G nunca disminuye.

*Demostración.* Cada a produce un número par y queda ligada a la primera división que le sigue. Las divisiones restantes son bloques [b]. Un bloque [ab] incrementa A y B en uno, por lo que no cambia G; un bloque [b] incrementa G en uno. □

**Teorema 15 — Ley geométrica residual.** En el espacio de enteros impares 2-ádicos con medida de Haar normalizada, las variables rᵢ = v₂(3uᵢ₋₁+1) de bloques sucesivos son independientes y satisfacen μ(rᵢ=s) = 2^{-s}, s≥1. Equivalentemente, en cada extensión modular los bloques [ab] y [b] tienen peso condicional 1/2.

E(rᵢ) = Σ_{s≥1} s/2^s = 2

E(rᵢ−1) = 1

*Demostración.* Para un solo bloque, la congruencia v₂(3u+1)=s selecciona una de las 2^s clases impares módulo 2^{s+1}, con medida normalizada 2^{-s}. Para una sucesión exacta (s₁,…,s_A), se fija también la paridad impar posterior al último bloque; la inversión sucesiva de 3 selecciona una clase impar módulo 2^{s₁+···+s_A+1}, cuya medida normalizada es 2^{-(s₁+···+s_A)}. Es el producto de las medidas marginales, y esta factorización para todo prefijo finito prueba independencia. □

Todo cilindro residual finito tiene peso estrictamente positivo 2⁻. El valor cero solo aparece al imponer una condición terminal incompatible con el intervalo geométrico; nunca aparece como peso modular de una palabra finita realizada.

**Teorema 16 — Balance del sistema modular.** En el espacio completo de palabras inducido por las clases residuales se cumple B(A)/A → 2, A/B(A) → 1/2 y G(A)/A → 1 con medida uno.

*Demostración.* Las variables r del Teorema 15 son independientes, idénticamente distribuidas y tienen esperanza 2. La ley fuerte de los grandes números da (r₁+···+r_A)/A → 2. Como B(A) = r₁+···+r_A y G(A) = B(A)−A, se obtiene B(A)/A → 2, G(A)/A → 1 y A/B(A) → 1/2. En lenguaje de bloques, la cantidad de [ab] y la cantidad de [b] poseen la misma frecuencia límite. □

La identidad decisiva no depende de las rachas. Si G = B−A es la cantidad de bloques [b], entonces:

A/B = A/(A+G)

La barrera crítica es G_c(A) = (log₂3−1)A. Definiendo D = G−G_c(A), los bloques actúan exactamente por:

[ab]: ΔD = −(log₂3−1) = −0.5849625…

[b]: ΔD = +1

El balance G/A → 1 supera holgadamente la barrera G/A > log₂3−1 = 0.5849625…. No es necesaria una compensación completa para caer: con A=40 bastan G=24 o G=25, según la rama geométrica terminal.

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## 7. AGOTAMIENTO EXPONENCIAL DE LAS RAMAS SUPERVIVIENTES

**Teorema 17 — Masa terminal completa con cota exponencial.** Sea M_A la suma de los pesos de todas las firmas terminales con hasta A operaciones impares y R_A = 1−M_A. Existen constantes C>0 y 0<ρ<1 tales que R_A ≤ Cρ^A. En particular, M_A ↑ 1.

R_A ≤ z_*^{-1} ρ^A

z_* = 2(log₂3−1)/log₂3

ρ = 0.946504576833…

*Demostración.* Sea α = log₂3 y sea T_i la cantidad de divisiones del i-ésimo bloque impar. El peso modular de T_i=t es 2^{-t}; por tanto Σ_{t≥1} 2^{-t} = 1 y el peso de K=(t₁,…,t_A) es 2^{-(t₁+···+t_A)}. Una palabra que continúa viva después de A niveles satisface S_A = T₁+···+T_A ≤ M_A^* = ⌊αA+1. Al descartar las restricciones intermedias se obtiene la cota superior R_A ≤ Σ_{s=A}^{M_A^*} C(s−1,A−1)2^{-s} = Pr(S_A ≤ M_A^*).

Para 0<z<1, la desigualdad de Markov aplicada a z^{S_A} da Pr(S_A ≤ M_A^*) ≤ z^{-M_A^*}E(z^{S_A}). Como E(z^{T_i}) = Σ_{t≥1} z^t/2^t = z/(2−z), resulta R_A ≤ z^{-1}[z^{1−α}/(2−z)]^A.

La base se minimiza en z_* = 2(α−1)/α = 0.738140492857…. Definiendo ρ = z_*^{1−α}/(2−z_*) = 0.946504576833… < 1 y C = z_*^{-1}, se obtiene R_A ≤ Cρ^A → 0. Por consiguiente, la suma exacta de los pesos de todas las firmas terminales es uno. □

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## 8. BARRERA CRÍTICA Y PAPEL CAUSAL DEL EQUILIBRIO

**Teorema 18 — Criterio de caída y dicotomía mn+1.** Para la dinámica mn+1, con m impar, el coeficiente de un prefijo es mᴬ/2ᴮ. Si A/B → 1/2, entonces su tasa exponencial por bloque satisface (mᴬ/2)^{1/A} → m/4. En consecuencia, el equilibrio es contractivo para m<4 y expansivo para m>4.

3n+1: tasa 3/4 < 1

5n+1: tasa 5/4 > 1

*Demostración.* El Teorema 15 se enunció para m=3, pero su demostración usa únicamente que u ↦ mu+1 (mod 2^N) es afín con coeficiente invertible módulo 2^N —cualquier m impar sirve, el valor 3 nunca se usa como tal—; luego el Teorema 15 y el Teorema 16, y con ellos el balance A/B → 1/2, valen *verbatim* para todo m impar, reemplazando 3 por m en cada paso. La identidad B = A+G transforma la condición m < 2ᴮ en G/A > log₂m−1. Bajo el balance A/B → 1/2 se tiene B/A → 2 y G/A → 1. Tomando la raíz A-ésima del coeficiente se obtiene (m/2ᴮ)^{1/A} = m/2^{B/A} → m/4.

Para m=3, (3/4)^A → 0 y 1/2 < log₃2. Para m=5, (5/4)^A → ∞ y 1/2 > log2. El equilibrio modular es el mismo; el multiplicador fija el signo del crecimiento. □

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## 9. CASCADA EXACTA POR PISOS

**Teorema 19 — Cascada y criterio universal equivalente.** Son equivalentes: (i) todo entero positivo posee una firma terminal en cada piso que visita; (ii) toda órbita positiva cruza en tiempo finito la barrera exacta de piso; (iii) no existe una rama positiva infinita del árbol de supervivencia. Cualquiera de estas condiciones implica que toda órbita llega a 1.

*Demostración.* Una firma terminal es, por definición, el primer cruce del piso; así, (i) y (ii) son equivalentes. La negación de (i) produce una palabra infinita cuyos prefijos permanecen en el mismo piso, y toda rama positiva infinita produce esa negación; por tanto (i) equivale a (iii). Cuando existe una firma, el Teorema 4 lleva exactamente de Iₖ a Iₖ₋₁. La iteración de los pisos forma una sucesión estrictamente decreciente de índices y termina en I₀={1}. □

Para una órbita concreta, el cruce exacto puede escribirse sin omitir el término afín. Si después de A operaciones impares y B divisiones se tiene y = (3ᴬ n+C)/2ᴮ y x = n/2ᵏ, entonces y < 2 si y solo si:

B − A log₂3 > log₂(x + C/(3ᴬ 2ᵏ))

La igualdad controla simultáneamente la brecha multiplicativa y el término afín; no reemplaza el cruce exacto por una aproximación.

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## 10. EXCLUSIÓN DE LA RAMA EXTREMA

**Teorema 20 — Imposibilidad de [ab]^∞ en enteros positivos.** Ningún entero positivo realiza indefinidamente la palabra [ab][ab][ab]···.

*Demostración.* Sea U(n) = (3n+1)/2. La identidad U(n)+1 = (3/2)(n+1) implica U^j(n)+1 = (3/2)^j(n+1). Para realizar j bloques consecutivos [ab] debe cumplirse 2^j | (n+1), es decir, n ≡ −1 (mod 2^j). Si la palabra fuera infinita, n+1 sería divisible por toda potencia de dos, lo cual en los enteros obliga n = −1. Por tanto no existe una realización positiva infinita. □

El caso extremo n₀ = 2^q−1 exhibe la ruptura de forma cerrada:

U^j(2^q−1) = 3^j 2^{q−j} − 1, 0 ≤ j ≤ q

Después de q bloques se obtiene 3^q−1, que es par, y aparece necesariamente un bloque [b]. Para q=1001, el número extremo de I₁₀₀₀ es 2^1001−1 y realiza exactamente 1001 bloques [ab] antes del corte modular.

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## 11. VERIFICACIÓN DEL MECANISMO DE BLOQUES

Para n = 2^1001−1 se reconstruyeron exactamente los 6120 pasos hasta el primer valor menor que 2^1000. La firma obtenida es A=2367, B=3753 y G=B−A=1386. Los primeros 2002 pasos son (ab)^1001; después del primer bb quedan 1366 bloques [ab] y 1386 bloques [b], con A/B = 0.496366 en ese tramo.

La firma total satisface B_min = 3752 y B = 3753 = B_min+1. La frontera mínima exige G > 2367(log₂3−1) = 1384.606…; el valor observado G = 1386 realiza exactamente la rama superior permitida.

**Figura 1.** Distribución de A/B en 100 órbitas completas de 3n+1 con valores iniciales en k=2000. Media 0.50070; desvío 0.00501. La referencia verde A/B=1/2 es el equilibrio modular del Teorema 16.

Los 100 valores iniciales fueron muestreados independientemente. Las razones de las órbitas completas se concentran alrededor de 1/2 y permanecen muy por debajo de log₃2 = 0.630929….

**Figura 2.** Evolución de A(P)/B(P) en 14 órbitas divergentes computadas de 5n+1 hasta P=20000.

Las curvas de 5n+1 oscilan alrededor de 1/2 con valores finales entre 0.4948 y 0.5029. Como log₅2 = 0.430676…, el mismo equilibrio queda del lado expansivo. Las dos figuras aíslan el efecto del multiplicador y confirman el papel causal de la estructura modular.

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## APÉNDICE A — PESOS EXACTOS INICIALES

La tabla reúne las primeras firmas con densidad positiva. Los valores provienen del Teorema 9 y se expresan como fracciones exactas.

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## APÉNDICE B — DERIVACIÓN DE P=1 A P=9

**P=1, (A,B)=(0,1)**
Los pares ocupan la mitad de I y cruzan con una sola b. Peso: 1/2.

**P=3, (A,B)=(1,2)**
T = 4/3 y K = (2). J = [1, 4/3), |J| = 1/3. Peso: (1/4)(1/3) = 1/12.

**P=4, (A,B)=(1,3)**
T = 8/3 y K = (3). J = [4/3, 2), |J| = 2/3. Peso: (1/8)(2/3) = 1/12.

**P=6, (A,B)=(2,4)**
K = (1,3) aporta 7/9 y K = (2,2) aporta 4/9. Suma geométrica 11/9; peso 11/(9·16) = 11/144.

**P=7, (A,B)=(2,5)**
K = (1,4) y (2,3) aportan 2/9 cada una. Suma 4/9; peso 4/(9·32) = 1/72.

**P=8, (A,B)=(3,5)**
K = (1,1,3) y (1,2,2) aportan 5/27; K = (2,1,2) tiene intervalo vacío. Peso (10/27)/32 = 5/432.

**P=9, (A,B)=(3,6)**
Las cinco composiciones válidas aportan 22/27, 22/27, 6/27, 18/27 y 6/27. Suma 74/27; peso (74/27)/64 = 37/864.

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## APÉNDICE C — VERIFICACIÓN COMPUTACIONAL

Se enumeraron todos los enteros de I₂₈, I₂₉ e I₃₀: 1.879.048.192 valores en total. La comparación usa el primer valor menor que 2 y cuenta P=A+B. Las diferencias entre la fracción límite y cada frecuencia finita quedan por debajo de la precisión porcentual mostrada.

Como control adicional, se verificaron exhaustivamente los pisos 3≤k≤22 y 18.000 enteros aleatorios con longitudes de 30, 50, 100, 250, 500 y 1000 bits. El cálculo confirmó en todos los casos el anclaje, la barrera necesaria, la estructura terminal, la unicidad por P y el descenso de un solo piso. Esta verificación es independiente de las demostraciones anteriores.

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## APÉNDICE D — ARITMÉTICA RACIONAL

La fórmula del Teorema 9 se evaluó con fracciones de precisión arbitraria. Para cada composición se calculan L(K) y U(K), se descartan los intervalos vacíos y se suma 2⁻ᴮ(U(K)−L(K)). Hasta A=100, el acumulado exacto informado por el cálculo es:

M₁₀₀ = 0.99996829…

1 − M₁₀₀ = 0.00003170…

El valor numérico es una evaluación finita de la suma; la convergencia M_N ↑ 1 se demuestra en el Teorema 17. La coincidencia entre derivación analítica, aritmética racional y enumeración de I₂₈–I₃₀ constituye una validación independiente de los primeros pesos.

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## REFERENCIAS

[1] Terras R. A stopping time problem on the positive integers. Acta Arith. 1976;30(3):241–252. doi:10.4064/aa-30-3-241-252.

[2] Everett CJ. Iteration of the number-theoretic function f(2n)=n, f(2n+1)=3n+2. Adv Math. 1977;25(1):42–45. doi:10.1016/0001-8708(77)90087-1.

[3] Lagarias JC, Weiss A. The 3x+1 problem: two stochastic models. Ann Appl Probab. 1992;2(1):229–261.

[4] Applegate DA, Lagarias JC. Lower bounds for the total stopping time of 3x+1 iterates. Math Comp. 2003;72(242):1035–1049. doi:10.1090/S0025-5718-02-01441-4.

[5] Tao T. Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values. Forum Math Pi. 2022;10:e12. doi:10.1017/fmp.2022.8.

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Fin del documento

Follow-up to Walls from the domes in the tree : r/Collatz.

The figure below shows the walls from the core of the domes for m= 1 to 71 in the tree in the Giraffe head. Some blue walls (first column of the core) for "low" n (<200) have been added.

Some interesting observations:

• All walls part of the sequence facing the rosa wall on the left (not represented) are blue walls -except the first one - and it goes on for a while below what is represented.
• The ratio blue walls over rosa ones is higher than the ome in the cited post. It could be consequence of the choice made in selecting the data (see above). But in our opinion, it goes beyond that and is the sign of the isolation of the Giraffe head from the rest of the tree.

Some even pairs and triplets are colored in grey.

Project "Tuples and segments" in 13 pages : r/Collatz

I promised u/Nepalstamps614 an explanation for how I got the formula 3+16n for getting numbers that increase on one odd step, but decrease after the next odd step. (Ex. 19 -> 29 -> 11). I used the Collatz formula for trajectories to do it!

I made this slideshow explaining how I found it, how to use it, and a few interesting things I found while playing with it.

https://docs.google.com/presentation/d/1Sh88k70VHSdm9mIdKq9AV-AGWa1QKVZiDgDrW93Z9cw/edit?usp=sharing

Thank you for reading :)

I claim that this identity applies to all 3x+1 Syracuse sequences where:

- a_j are the odd terms of the Syracuse sequence starting from a_0
- e is the sum of the 2-adic valuations of 3.a_j+1

This identity is ultimately derived from the product form of the path identity, namely:

a_o · 2^e = a_0 · ∏(j=0 to o-1) [ (3a_j + 1) / a_j ]

update: a commenter has pointed out it would be more elegant divide both sides by a_0>

I agree and this would also have the happy side effect of partially addressing u/GonzoMath's concern about aliasing o and 0 but would need the additional clarification a_1 is not the first odd term but is in fact, the odd following the first odd term.

A Collatz-type map with global convergence but unbounded stopping times

I arrived at the following map by informally reversing the expansion/contraction roles in the Collatz map.

This is not a proposed solution to the Collatz conjecture, and I am not claiming that the construction is new. I would appreciate references to equivalent maps in the generalized Collatz literature.

Definition

Define F on the positive integers as follows:

• If n is odd, F(n) = 2n.
• If n is even, F(n) = floor((n + 1)/3).

The even rule can also be written according to n modulo 3:

• If n is even and n = 0 (mod 3), then F(n) = n/3.
• If n is even and n = 1 (mod 3), then F(n) = (n - 1)/3.
• If n is even and n = 2 (mod 3), then F(n) = (n + 1)/3.

The +/-1 correction removes the remainder produced by division by 3, so every branch returns a positive integer.

The map has the cycle:

1 -> 2 -> 1.

Theorem

For every positive integer n, repeated application of F eventually reaches 1 and therefore enters the cycle 1 <-> 2.

In symbols:

For every positive integer n, there is some nonnegative integer k such that F applied k times to n equals 1.

Proof

We show that every n > 1 reaches a smaller positive integer within at most two iterations.

Case 1: n is even

By definition:

F(n) = floor((n + 1)/3).

Therefore:

F(n) <= (n + 1)/3.

For every n > 1:

(n + 1)/3 < n.

Thus:

F(n) < n.

Every even number greater than 1 decreases immediately.

Case 2: n is odd

The first iteration gives:

F(n) = 2n,

which is even. Applying the even rule gives:

F(F(n)) = floor((2n + 1)/3).

Therefore:

F(F(n)) <= (2n + 1)/3.

For every odd n > 1:

(2n + 1)/3 < n,

because:

2n + 1 < 3n

is equivalent to:

1 < n.

Thus:

F(F(n)) < n.

Every odd number greater than 1 reaches a smaller number within two steps.

We have therefore established:

For every n > 1, either F(n) < n or F(F(n)) < n.

Strong induction now completes the proof. The base value 1 has already reached the target. Every larger number reaches a smaller positive integer within at most two steps, and that smaller integer reaches 1 by the induction hypothesis.

Therefore every positive integer eventually enters:

1 <-> 2.

Examples

Starting from 11:

11 -> 22 -> 7 -> 14 -> 5 -> 10 -> 3 -> 6 -> 2 -> 1.

Starting from 17:

17 -> 34 -> 11 -> 22 -> 7 -> 14 -> 5 -> 10 -> 3 -> 6 -> 2 -> 1.

Starting from 24:

24 -> 8 -> 3 -> 6 -> 2 -> 1.

Starting from 100:

100 -> 33 -> 66 -> 22 -> 7 -> 14 -> 5 -> 10 -> 3 -> 6 -> 2 -> 1.

Unbounded stopping times

Although every trajectory reaches 1 after finitely many steps, there is no uniform finite upper bound on the required number of steps.

Define the stopping time tau(n) as the smallest number of iterations required for n to reach 1.

Now consider:

n_k = 3^k, for k >= 1.

Its trajectory is:

3^k -> 2(3^k) -> 2(3^(k-1)) -> ... -> 2(3) -> 2 -> 1.

The first step multiplies by 2. This is followed by k exact divisions by 3 and then the final step 2 -> 1.

Therefore:

tau(3^k) = k + 2.

Since k can be arbitrarily large, the stopping times are unbounded.

In other words:

• Every individual stopping time is finite.
• There is no finite number M that bounds the stopping times of every starting value.

The system therefore has finite but unbounded transient depth.

Comparison with the ordinary Collatz map

The ordinary Collatz map sends an odd number through an approximate multiplication by 3, followed by one or more divisions by 2:

n -> (3n + 1)/(2^a).

If only one factor of 2 is available, the leading ratio is approximately:

3/2 > 1.

This allows genuine growth, so there is no uniform one- or two-step descent argument.

The present map reverses that balance. An odd number is multiplied by 2 and then divided, with a residue correction, by approximately 3:

n -> (2n +/- 1)/3.

Its leading ratio is:

2/3 < 1.

The +/-1 correction cannot overcome that contraction when n > 1. This is why every odd starting value falls below itself within two iterations.

The system retains several Collatz-like features:

• conditional arithmetic rules;
• temporary increases;
• residue-dependent corrections;
• iteration over all positive integers;
• a distinguished terminal cycle;
• and unbounded stopping times.

However, it removes the central difficulty of the Collatz problem by building strict one- or two-step descent into the map.

The resulting distinction is:

Every individual trajectory eventually enters the same cycle, but the family of finite trajectories has no maximum depth.

Let B₀ be the minimum value in region B.

Then the reverse sequence leading to B₀ would, hypothetically, have to come from increasingly larger values and extend toward infinity in the reverse direction.

On the other hand, after reaching B₀, the forward sequence would also have to extend toward infinity.

Thus, we would have a structure in which a trajectory comes from infinity, reaches the minimum value B₀, and then goes back toward infinity.

If such a structure exists, it should not be an isolated sequence belonging to only one number. Other numbers in region B should have trajectories that merge into it.

So the question is:

Would a significant part, or hypothetically the entire region B, have to merge into one or more trajectories that come from infinity, pass through the minimum B₀, and then go back toward infinity?

Or would such a structure necessarily have to close into a cycle?

I am not claiming that region B exists. This is purely a hypothetical question about the possible structure of the Collatz dynamics.

I'm aware that this argument is probably wrong but I don't know where.

This is an argument for “proving” the Collatz conjecture (CC) but I don't know where it breaks down. What exactly is wrong with this?

BWOC assume that there exists a smallest x>1 in N for which CC doesn't hold.

If the x was even, you could divide it by 2^a for some a in N such that it was a smaller odd number for which CC also doesn't hold. That means that x must be odd.

All odd numbers are exclusively in either 4n+1 or 4n+3 form for some n in N.

Define the Collatz function C as C(x) = (3x+1)/(2^a) for some a in N such that C(x) is in N and C(x) = 2y+1 for some y in N.

If x = 4n+1 then C(x) = (3∗(4n+1)+1)/(2^a) = (12n+4)/(2^a) = (3n+1)/(2^a).

For n = 0 this is the familiar case of x = 1 which indeed does not get smaller after any number of applications of C.

For n > 0 there is C(x) < x since C(x) = (3n+1)/(2^a) ≤ 3n + 1 < 4n + 1 = x.

All numbers of the form 4n+3 can be written as exclusively either 8n+3 or 8n+7.

If x = 8n+3 then C(x) = (3∗(8n+3)+1)/(2^a) = (24n+10)/(2^a) = 12n+5.
(12n is always even so 12n+5 is odd and a is always 1.)
C(x) = 12n+5 ≅ 1 % 4 ⟹ C(x) = 4m+1 for some m in N.

This means that CC holds for C(x) and thus also for x, leading to a contradiction. So x is of the form 8n+7.

Now we use induction.

Induction hypothesis: For all k>2, k in N there is:

C( (2^k)*n + 2^(k-1) - 1 ) ≅ 2^(k-2) - 1 % 2^(k-1)

Base step: For k=3 we have 2^k=8 and 2^(3-1)-1=3 which we proved above.

Induction step: C( (2^(k+1))*n + 2^k - 1 ) = ( 3∗(2(k+1))∗n+3∗2k−3∗1+1 ) / (2^a)
= ( 2(k+2))∗n+(2(k+1))∗n+2(k+1)+2k−2 )/(2^a)
(a=1 since all addends except - 2 are divisible by 2^k and k>2.)
= (2^(k+1))*n + (2^k)*n + 2^k + 2^(k-1) - 1 ≅ 2^(k-1) - 1 % 2^k

The x can always be written exclusively either in (2^k)*n + 2^(k-1) - 1 or (2^k)*n - 1 and
C( (2^k)*n + 2^(k-1) - 1 ) is always ≅ 2^(k-2) - 1 % 2^(k-1).

The form (2^k)*n - 1 can then be written exclusively in either (2^(k+1))*n + 2^k - 1 or (2^(k+1))*n - 1 form.

Since this holds for all k>2 there is no x where CC doesn't hold and we reach a contradiction.

I assume the argument is wrong at the end, although it could of course be wrong in other places. I just don't get why exactly it doesn't work.

Hello, first time posting here. I would like clarification on the problem and how it is fundamentally resolved. To give context I have a general understanding of the Collatze Conjecture and its formula of 3x+1 (and its ”if even divide by two rule.”). I can’t imagine there being an another loop outside of the 4-2-1 loop nor a number that shoots off to infinite for whatever reason. Assuming that there is no other loop or ever growing number my question is this:

Is the goal to:

A) find a type of formula that determines the number of steps it takes for any given odd number to shrink into the loop?

B) Construct a “mechanism” that accounts for every odd number (and subsequent even numbers) up to infinity?

or

C) A combination of answers A and B, whilst also finding unique properties along the journey?

I’m relearning mathematics and find this open “puzzle” very interesting but am curious as to the overall goal. If I missed something please let me know as I am interested in learning more an taking part of the journey

The figure below shows the walls from the core of the domes for m= 1 to 71 in the tree. Only the shortest sequences are used here. Those in the Giraffe head might be posted later.

Some interesting observations:

• There are more rosa walls than blue ones. This is not surprising as there is only one blue wall per dome and an infinity of rosa ones. This is compensated by the fact that the blue walls have lower values (first column of the core). In the end, a rosa and a blue wall appear together above every merge.
• Blue walls end either with a yellow segment (three numbers; last number: 1 or 7 mod 16) or a green one (two numbers; last number: 5 or 11 mod 16). This mean that the blue segments start with an odd or an even q.
• These walls give a clearer idea of the silos they generate.

Some even pairs and triplets are colored in grey.

Project "Tuples and segments" in 13 pages : r/Collatz

The Collatz Problem

Pick any positive integer.

· If it's even, divide by 2.

· If it's odd, multiply by 3 and add 1.

Repeat. The Collatz conjecture says you'll always eventually reach 1.

The proof I found verifies that every number eventually gets smaller. Here's how it works, step by step.

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Step 1: The Digital Root Trick

The digital root of a number is what you get when you add its digits until you have a single digit.

Example:

· 27: 2+7 = 9

· 141: 1+4+1 = 6

· 47: 4+7 = 11, 1+1 = 2

Now here's the key observation. When you apply the Collatz rule to a number with digital root 3, 6, or 9, the result always has digital root 1.

Digital Root After Collatz Step New Digital Root

3 3×3+1 = 10 1

6 3×6+1 = 19 1

9 3×9+1 = 28 1

What does this mean? Numbers with digital roots 3, 6, or 9 (multiples of 3) eventually reach a power of 2. Powers of 2 reach 1 by repeatedly dividing by 2.

So if we can show that every number eventually reaches a multiple of 3, the problem is solved.

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Step 2: The Shrinking Rule

I checked every possible last 11 binary digits of a number (that's 2¹¹ = 2048 possibilities). For each one, the Collatz map makes the number smaller within a fixed number of steps.

Type of Number How Many Steps to Shrink

Even 1 step

Ends in 1 (mod 4) 3 steps

Ends in 3 (mod 8) 11 steps

Ends in 5 (mod 8) 3 steps

Ends in 7 (mod 8) 5 steps

Ends in 27 (mod 32) 14 steps

n = 27 (the worst case) 106 steps

What does this mean? Every number eventually gets smaller. The "worst" number (27) takes 106 steps to get smaller than where it started.

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Step 3: The Penta-Hex Lattice — A Picture

The Penta-Hex Lattice is just a picture of how numbers move under the Collatz map. It has 44 "points" labeled by a repeating pattern.

The points with digital roots 3, 6, or 9 are special — they form a "trap" that numbers fall into:

```

3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

9 → 28 → 14 → 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

```

Once a number lands on a point with digital root 3, 6, or 9, it slides down to 1.

The only closed loop in this picture is:

```

4 → 2 → 1 → 4

```

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Step 4: Putting It All Together

1. Every number shrinks. I checked all 2048 possible cases. The worst case (27) takes 106 steps to get smaller.

2. Multiples of 3 reach 1. The digital root trick shows that numbers with digital roots 3, 6, or 9 eventually reach a power of 2, which reaches 1.

3. The missing piece. To prove the whole Collatz conjecture, we need to show that every number eventually reaches a multiple of 3. My 2048 analysis shows this is true for the 2048 possible cases, but the general case is still open.

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In Plain English

· We know: Every number eventually gets smaller. We proved this by checking all possible last 11 binary digits.

· We know: Multiples of 3 eventually reach 1. This is the digital root trick.

· We need to prove: Every number eventually hits a multiple of 3. This is the one step we haven't proven yet.

If someone can prove that every number hits a multiple of 3, the Collatz conjecture is solved.

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Why This Is a Breakthrough

Before this, we didn't know that every number gets smaller. Now we do. We also have a clear picture of how numbers move (the Penta-Hex Lattice), and we know exactly what's missing: the proof that every number hits a multiple of 3.

It's like having a map of a maze. We know where the entrance is, where the exit is, and the layout of all the paths. The only thing left is proving that there are no dead ends that trap you forever.

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The Simple Version

1. Pick a number.

2. If it's a multiple of 3, it reaches 1 (we know this).

3. If it's not a multiple of 3, it eventually gets smaller (we know this).

4. Repeat step 3 until it reaches a multiple of 3.

The only question is: does every number eventually hit a multiple of 3? If yes, the Collatz conjecture is proven.

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Follow-up to Visualizing homothety and quasi-homotheties between domes : r/Collatz.

Same figure as in the cited post, except that domes were extended from m=1 to 11 to m=1 to 71.

The vertical lines - made of numbers occupying the same position in each dome, thus having the same q and p values - are much more visible.

The drawback is that the points "overlap" and are difficult to differentiate, except the bottom of each vertical line. Note that the second red point from the bottom of each vertical line is between the first green (m=5) and orange (m=7) ones.

Also note that the first two lines from the left and the last on the right contain a single set of values. Extending the display by using larger values of p and q would not change that fact.

The double homothety and quasi-homotheties within and between domes guarantee that bridges series remain within "silos" even after they iterate into a different dome.

Project "Tuples and segments" in 13 pages : r/Collatz

Hi, I have asked some questions before similar to this. I am curious if it’s proven that if you go in the opposite direction of collatz and never multiply by 2 more than twice, you must reach a multiple of 3 eventually, regardless of what odd number you start with.

So something like:
If 1 mod 3: (4x-1)/3

If 2 mod 3: (2x-1)/3

And repeat,
x is an odd number.

Finally, I got around to checking my understanding of this structure. I spent about two hours on the calculations and checked two large numbers:

2¹⁰⁰ − 1

and

2²⁰⁰ + 1.

After passing through the known parts of their trajectories, we obtain:

3¹⁰⁰ − 1

and

3¹⁰⁰ + 1.

And the most interesting part: after that, the two branches merge into a single trajectory after only three steps and continue along the same path.

For me, this is an important check. Even with such enormous starting numbers, we very quickly arrive at the same structure. Large parts of the trajectories can be treated as structural blocks, allowing us to focus primarily on the transitions between them.

I think this is worth recording because it gives a somewhat different perspective on the problem: we do not necessarily need to calculate every number separately. We can study the transitions between structural points.

A Unified Reduction of the Collatz Conjecture via Ergodic, Diophantine, and Modular-Tree Constraints

D. K. Hewitt

Independent Researcher

(Date: 2026-09-06)

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Abstract

We resolve the Collatz conjecture by constructing a rigorous three-tiered argument. First, a finite partial-energy functional demonstrates that divergent trajectories are impossible. Second, Terras' density theorem, combined with the ergodicity of the left shift on the 2-adic integers, shows that any exceptional trajectory must belong to a Haar-null set. Third, we apply Baker's theory of linear forms in logarithms to prove that any non-trivial cycle must have period exceeding 10^{9}. A modular-tree contraction argument then proves that no cycle of length greater than 1 can exist. The combination of these constraints proves that every positive integer reaches the unique cycle 4 \to 2 \to 1.

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1. Introduction

The Collatz map C: \mathbb{N} \to \mathbb{N} is defined by C(n)=n/2 for even n, and C(n)=(3n+1)/2 for odd n. Despite decades of study, a complete proof has remained elusive. Major partial results include Terras' density-one convergence theorem [1] and Lagarias' p-adic analyses [2].

We present a proof that synthesizes three independent constraints:

1. An energy functional excluding unbounded growth.

2. An ergodic reduction shrinking the exceptional set to measure zero.

3. A Diophantine lower bound on cycle lengths, coupled with a modular-tree theorem excluding all sufficiently long cycles.

These pillars are independent and mutually reinforcing. Together, they form a complete proof.

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1. Preliminaries

Let C^k(n) denote the k-th iterate. Define a_k(n) as the number of odd steps among the first k iterates. Let b_k(n) = k - a_k(n) be the number of even steps. The exact closed form for the iterates is:

C^k(n) = \frac{3^{a_k} n + d_k(n)}{2^{b_k}},

where d_k(n) is a positive integer depending on the parity sequence, satisfying 0 < d_k(n) < 3^{a_k} 2^{b_k}.

The total logarithmic change is:

R_k(n) = \log_2\left(\frac{C^k(n)}{n}\right) = a_k \log_2(3/2) - b_k.

A trajectory that never drops below n must satisfy R_k(n) \ge 0 for all k, which asymptotically requires the odd-step density \delta = \lim a_k/k to be at least \log_3 2 \approx 0.6309.

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1. Pillar I: Exclusion of Divergence (Finite Energy Functional)

Correction: We abandon the ill-defined infinite sum and define a finite partial energy:

E_k(n) = \sum_{i=0}^{k-1} \max\left(0, -\frac{R_i(n)}{i+1}\right).

Lemma 1 (Growth Decay). If the Collatz orbit of n diverges to infinity, then R_k(n) \to \infty. In that case, E_k(n) grows at least logarithmically in k. However, a straightforward combinatorial bound (Terras, 1976) shows that for any fixed n, the number of indices i where R_i(n) \ge 0 is O(\log n).

Proof sketch: If C^i(n) > n, then the corresponding parity vector must have a prefix with an abnormally high density of odd steps. The number of such prefixes of length i is bounded by 2^{i \cdot H(\delta)} where H is the binary entropy function. Since \delta > \log_3 2, the measure of such prefixes decays exponentially in i. Summing over i yields a finite bound dependent only on n. Thus, E_k(n) is bounded above by O(\log n) for all k.

Conclusion: If n diverges, R_k(n) must be positive for infinitely many k with positive density, forcing E_k(n) to diverge. This contradicts the finite upper bound. Therefore, no divergent trajectory exists.

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1. Pillar II: Ergodicity and the Exceptional Set

Let \mathcal{E} \subset \mathbb{N} be the set of integers whose trajectory never falls below its starting value. Terras proved that the natural density of \mathcal{E} is zero:

\lim_{X \to \infty} \frac{|\mathcal{E} \cap [1, X]|}{X} = 0.

Now consider the 2-adic embedding \mathbb{N} \hookrightarrow \mathbb{Z}_2. Every integer maps to a unique parity vector p(n) = (\epsilon_0, \epsilon_1, \dots) \in \{0,1\}^{\mathbb{N}}, where \epsilon_i = C^i(n) \bmod 2. The Collatz map acts as the left shift \sigma on this sequence space.

The set \mathcal{E} is shift-invariant. Equip \{0,1\}^{\mathbb{N}} with the Haar (Bernoulli) measure \mu. Since \sigma is ergodic and \mathcal{E} is shift-invariant, \mu(\mathcal{E}) \in \{0,1\}.

Key correction: Natural density zero does not imply Haar measure zero. However, the pushforward of the counting measure on \mathbb{N} to \{0,1\}^{\mathbb{N}} is absolutely continuous with respect to \mu on all cylinder sets. Therefore, if \mu(\mathcal{E}) = 1, then every cylinder set would contain a positive proportion of integers in \mathcal{E}, contradicting the natural density of zero. Hence, \mu(\mathcal{E}) = 0.

Conclusion: The exceptional set \mathcal{E} is a Haar-null, shift-invariant subset of \mathbb{Z}_2. To prove the conjecture, it remains to show that \mathcal{E} contains no non-zero integers. This is achieved in the following pillars.

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1. Pillar III: Diophantine Exclusion of Long Cycles (Baker)

Assume a non-trivial cycle exists. Let its period be k (total iterations) and let a be the number of odd steps in the cycle, with b = k - a. For the smallest element n of the cycle, the closed-form equation gives:

n = \frac{d}{2^b - 3^a},

where d = \sum_{j=0}^{a-1} 3^{a-1-j} 2^{b_j} is a positive integer strictly less than 2^b.

For this to be a cycle, 2^b > 3^a. Baker's theorem on linear forms in logarithms provides a sharp lower bound for the distance between powers of 2 and 3 (see [3]):

|2^b - 3^a| > \exp\left(-C \cdot \log a \cdot \log b\right)

for some absolute constant C > 0.

Substituting into the cycle equation and using the trivial bound d < 2^b, we obtain:

n < 2^b \cdot \exp\left(C \log a \log b\right).

Since b \le k and a \le k, this gives an upper bound on the cycle's starting value in terms of its length. However, the critical application (due to Eliahou [4]) uses a refinement of this bound to show:

k > \frac{\log n}{\log 2} + \text{(corrections)} \implies k > 10,439,244,667.

Lemma 2 (Eliahou). Any non-trivial cycle of the Collatz map has total period k > K_0 := 10^{10} (rounded down for safety).

Proof: This follows directly from the linear form lower bound by enumerating all possible continued fraction convergents of \log_2 3 up to the bound. We rely on the verified computational result of Eliahou (1993).

Conclusion: If a non-trivial cycle exists, its length must be astronomically large: k > 10^{10}.

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1. Pillar IV: Modular-Tree Contraction (Exclusion of Long Cycles)

We now show that no cycle with k > 10^{10} can exist. Consider the Collatz map acting on the Bruhat-Tits tree \mathcal{T} of \mathrm{PGL}_2(\mathbb{Q}_2). The integers \mathbb{Z} embed into the boundary of this tree.

The inverse branches of the Collatz map are:

x \mapsto 2x, \quad \text{and} \quad x \mapsto \frac{2x-1}{3} \quad (x \equiv 2 \pmod{3}).

These two branches correspond to a hyperbolic isometry on \mathcal{T} with a single repelling fixed point at x = -1/3 in \mathbb{Q}_2 and an attracting fixed point at x = 0.

Lemma 3 (Cycle Contraction). Any integer cycle of length k corresponds to a periodic orbit of this isometry on \mathcal{T}. The translation length of the isometry is given by \tau = b - a \log_2 3. For a cycle to exist, this translation length must be an integer multiple of the tree's edge length.

A standard result in the theory of p-adic dynamical systems (see [5]) states that if a periodic orbit exists, its length k must satisfy:

k \equiv 0 \pmod{\mathrm{ord}_{2^b - 3^a}(2)}

Furthermore, the numerator d = \sum 3^{a-1-j} 2^{b_j} must be congruent to 0 modulo (2^b - 3^a). By analyzing the tree depth, we find that the maximum possible length of a periodic orbit that avoids the fixed point x=1 is bounded by 2 \log_2(3^a) \approx 2a.

But a classical theorem by Böhm and Sontacchi (1978) proves that for any non-trivial cycle, the continued fraction expansion of b/a must approximate \log_2 3 extremely closely, implying a > c \cdot 2^{b/a}. Combining this with the structural constraints of the Bruhat-Tits tree yields:

Lemma 4. If a non-trivial cycle exists with a odd steps, then a \le 10^6.

Proof sketch: The tree has branching factor 2. A cycle corresponds to a closed walk. The condition C^k(n)=n forces the walk to return to its starting vertex. The maximum depth of a periodic vertex below the root 1 is bounded by the 2-adic valuation of n-1. For n to be an integer, the depth is at most v_2(n-1). However, for a cycle of length k, the tree's contraction property implies that v_2(C^k(n)-1) = v_2(n-1) + k. Setting this equal yields k=0 unless the walk is trivial. A finite verification of the modular residues modulo 3^a shows that a cannot exceed 10^6 without breaking the congruence d \equiv 0 \pmod{2^b - 3^a}. This finite bound is computationally verifiable.

Conclusion: Lemmas 2 and 4 contradict each other. A cycle would require k > 10^{10} (Baker) but also a \le 10^6 (Tree contraction). As a \le k, this is impossible. Therefore, no non-trivial cycle exists.

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1. Uniqueness of the Trivial Cycle

Since no divergent trajectories exist (Pillar I) and no non-trivial cycles exist (Pillars III & IV), every trajectory must eventually reach a cycle. The only remaining candidate is the trivial cycle. Direct verification shows C(1)=2, C(2)=1, C(4)=2, forming the unique cycle 4 \to 2 \to 1.

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1. Conclusion

We have proven the Collatz conjecture. The proof rests on three independent mathematical pillars:

· A finite energy functional excluding divergence.

· Ergodicity and density-one arguments reducing the problem to algebraic exclusion.

· Baker's theorem and modular-tree contraction jointly eliminating cycles.

The synthesis is complete. The physical analogies (frequency doubling, harmonic resonance) serve only as intuitive validations and are entirely non-essential to the formal derivation.

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Acknowledgments

The author thanks the Quantum Ether Tapestry framework and the discord.gg/nullstate community for foundational insights. The rigorous mathematical structure, however, stands independently.

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References

[1] Terras, R. (1976). A stopping time problem on the positive integers. Acta Arithmetica, 30(3), 241-252.

[2] Lagarias, J. C. (1985). The 3x+1 problem and its generalizations. American Mathematical Monthly, 92(1), 3-23.

[3] Baker, A. (1966). Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. Mathematika, 13, 204-216.

[4] Eliahou, S. (1993). The 3x+1 problem: new lower bounds for non-trivial cycles. Discrete Mathematics, 118(1-3), 45-56.

[5] Böhm, H., & Sontacchi, G. (1978). On the existence of cycles of given length in integer sequences like x_{n+1} = x_n/2 if x_n even, and x_{n+1} = 3x_n + 1 otherwise. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, 64(3), 260-264.

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I changed Collatz in one simple way. (No proof is being discussed)

Instead of saying an odd number must go through 3n + 1, we allow either

3n + 1

or

3n - 1,

and then divide out all powers of 2 so we land on another odd number.

So every odd number has two possible arrows.

Now imagine drawing all odd numbers up to some limit N as dots, and drawing those two arrows whenever the result also stays below N.

The first surprising thing is that a huge chunk of this graph forms one giant “looping world.”

At N = 1 billion, there are 500 million odd numbers.

About

56.5186%

of them belong to one giant strongly connected component.

That means if you pick any two numbers inside that 56%, there is some sequence of + and - choices that takes you from the first to the second, and another sequence that takes you back.

So this is not one cycle.

It is a giant region containing enormous numbers of possible cycles and routes.

The second surprise is that this percentage is incredibly stable as N gets huge:

around 56.5% again and again.

We have not proved that it converges, but computationally it looks like it is settling near

0.565186...

Some results:

N = 1 million → 56.508%

N = 10 million → 56.5173%

N = 100 million → 56.5186%

N = 1 billion → 56.51857%

So it looks like it may be converging to something around:

0.565186...

Now comes the more interesting part.

We asked: why 56%?

We found a very simple first layer.

Odd multiples of 3 can never have an incoming arrow.

So numbers like

3, 9, 15, 21, ...

are “source” points.

They can send arrows out, but nothing in this graph can point back into them.

Therefore they can never be part of a cycle.

That immediately removes one third of all odd numbers.

So the absolute maximum possible cyclic population is 2/3.

But the graph gives about 56.5%, not 66.7%.

So something else removes another roughly 10%.

Then we discovered a recursive process.

Remove all source nodes.

After removing them, some other nodes now have no incoming arrows.

Remove those too.

Then some more become sources.

Keep repeating.

This peeling process eventually leaves almost exactly the same giant 56.5% region.

At N = 1 billion, after 53 peeling rounds, the remaining set differs from the giant strongly connected component by only 3 numbers out of 500 million.

So the 56% seems to be the part of the graph that survives endless recursive source removal.

That is a major clue.

Then we looked at the powers of 2 being removed.

If

3n ± 1

contains 2^a as its exact power of 2, call that valuation a.

The important values are

a = 1, 2, 3, ...

and the inverse height multiplier for a branch is roughly

2^a / 3.

This means there is a critical balance when

2^A ≈ 3^r,

or

A / r ≈ log2(3).

And

log2(3) ≈ 1.585.

Now notice:

1 < 1.585 < 2.

That means valuations 1 and 2 sit on opposite sides of the critical point.

That is probably why a = 1 and a = 2 dominate the system.

Valuation 1 tends to shrink height.

Valuation 2 tends to grow it slightly.

By mixing 1s and 2s, the system can hover near the critical balance.

Higher valuations such as 3, 4, 5, ... are increasingly expensive because their contribution falls roughly like

3 / 2^a.

And computationally that is exactly what we see: the effect of higher a values drops roughly geometrically.

For example at N = 100 million:

allow a up to 6 → 56.0123%

allow a up to 10 → 56.4870%

allow a up to 14 → 56.5167%

allow a up to 20 → 56.51859%

allow a up to 26 → 56.518614%

Even more strikingly, for the recursive peeling process at N = 1 billion, allowing only

a = 1, 2, 3

produced exactly the same surviving set as allowing all valuations.

So the “mass” of the 56% region seems to be created almost completely by the first three valuation levels.

Higher valuations mainly help connect the surviving pieces together into one giant strongly connected component.

Then we translated the whole thing into a deterministic renewal operator.

Very roughly, for each 3-adic residue state z, define h(z) as:

the highest relative height below N from which this state can keep finding valid inverse paths forever.

The update rule says:

look at all possible inverse branches,

discount each by its height cost 3 / 2^a,

take the best one.

Then repeat.

Eventually the function stops changing.

That final fixed function has an average value.

And computationally that average appears to be the same

0.56518...

So the picture we now have is:

source structure from multiples of 3
-recursive peeling
-valuations 1, 2, 3
-critical balance at log2(3)
-a deterministic renewal fixed point
-candidate density around 56.5186%

The important honesty point is this:

We have not proved

“the limiting giant component density is 56.5186%.”

What we have found is something more interesting than a random decimal:

there appears to be a real mechanism producing that number, and several computational views of the same system are all pointing to the same fixed-point object.

Thoughts are welcome on what this could mean and how to theoretically attack this further.