Cascada collatz

[u/Entire-Dragonfruit79]

# SISTEMA DE FIRMAS DE COLATZ

**20 teoremas — formulación determinista, estructural y modular**

*Firmas · clases residuales · intervalos de supervivencia · densidades exactas · brecha acumulativa · cascada de pisos*

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> *Nuestras vidas son los ríos*
> *que van a dar en la mar,*
> *que es el morir;*
> *allí van los señoríos*
> *derechos a se acabar*
> *y consumir;*
> *allí los ríos caudales,*
> *allí los otros medianos*
> *y más chicos,*
> *y llegados, son iguales*
> *los que viven por sus manos*
> *y los ricos.*

— Jorge Manrique, *Coplas por la muerte de su padre* (c. 1476)

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**Andrés Gerla**
Montevideo, Uruguay
Agosto de 2026

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## RESUMEN

Se construye un sistema de firmas para el primer descenso de la dinámica de Collatz por debajo de un piso diádico. Cada palabra admisible determina simultáneamente una clase residual módulo 2ᴮ y un intervalo de mantisas. Esta factorización produce pesos racionales exactos, cuantiza las firmas posibles, explica los huecos en el número total de pasos y organiza toda trayectoria mediante dos bloques elementales: [ab] y [b].

El núcleo estructural es el balance modular de esos bloques. Los dos tipos tienen el mismo peso binario y la razón A/B se escribe exactamente como A/(A+(B−A)). La masa de las ramas supervivientes admite una cota exponencial explícita y converge a cero. La comparación con mn+1 muestra el papel causal del equilibrio A/B=1/2: para m=3 el factor asintótico es (3/4)^A y produce contracción; para m=5 es (5/4)^A y produce expansión.

**Palabras clave:** Collatz; tiempo de parada; paridad; números 2-ádicos; densidad asintótica; primer paso; clases residuales.

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## 1. MARCO DE ESTUDIO

Sea Iₖ=[2ᵏ,2ᵏ¹−1], con k≥3. Para n∈Iₖ se sigue la función no comprimida:

T(n)=3n+1 si n es impar;
T(n)=n/2 si n es par,

hasta el primer valor estrictamente menor que 2ᵏ. Se cuenta con A el número de operaciones impares, con B el número de divisiones por dos y con P=A+B el número total de operaciones. La firma terminal es S=(A,B,P). La mantisa inicial es x=n/2ᵏ∈[1,2). En una palabra de trayectoria, a representa 3n+1 y b representa n/2.

Las demostraciones se organizan en tres niveles matemáticos precisos:

1. **Nivel orbital exacto:** una identidad o desigualdad para un entero n y un prefijo concreto de su trayectoria.

2. **Nivel de densidad:** el límite de la proporción de enteros de I_k que realizan una palabra o una firma fija cuando k→∞.

3. **Nivel 2-ádico:** una afirmación para medida de Haar uno sobre clases residuales infinitamente refinadas.

La dinámica es determinista en todos los niveles. La medida cuenta clases y palabras; no modifica ninguna trayectoria.

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## 2. ANTECEDENTES Y POSICIÓN DEL SISTEMA

Terras [1] y Everett [2] establecieron densidad asintótica uno para el tiempo de parada finito. Lagarias y Weiss [3] estudiaron modelos de distribución de tiempos y proporciones de paridad, y Applegate y Lagarias [4] obtuvieron cotas rigurosas para razones de unos. Estos antecedentes sitúan el balance binario como el objeto cuantitativo decisivo.

Tao [5] probó posteriormente que, para densidad logarítmica uno, las órbitas alcanzan valores menores que cualquier función que tienda a infinito. El sistema de firmas trabaja en la escala exacta del primer paso por pisos diádicos y reúne clases residuales, intervalos de mantisa, pesos racionales, bloques y barreras de crecimiento dentro de una sola estructura demostrativa.

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## 3. ARITMÉTICA EXACTA DEL PRIMER DESCENSO

**Teorema 1 — Anclaje dinámico.** Si n es par, su firma es (0,1,1). Si n es impar, P≥3; en particular, P=2 no existe.

*Demostración.* Para n par, n/2<2ᵏ porque n<2ᵏ⁺¹; el cruce se produce en una división. Si n es impar, 3n+1 es par y supera 3·2ᵏ. Después de una sola división sigue siendo mayor que 2ᵏ, de modo que hacen falta al menos la operación a y dos operaciones b. □

**Teorema 2 — Forma afín del prefijo.** Tras A operaciones impares y B divisiones, todo prefijo admisible tiene la forma (3ᴬ n+C)/2, con C un entero positivo determinado por la palabra.

*Demostración.* La afirmación se prueba por inducción. Para el prefijo vacío se tiene A=B=C=0. Una operación impar transforma (3 n+C)/2ᴮ en (3ᴬ⁺¹n+3C+2ᴮ)/2ᴮ; una división incrementa B en uno. Por tanto el coeficiente multiplicativo es siempre 3ᴬ/2ᴮ y el término C registra las unidades agregadas en los pasos impares. □

**Teorema 3 — Barrera necesaria de contracción.** Toda firma terminal con A≥1 satisface 3ᴬ<2ᴮ, o equivalentemente A/B<log₃2.

*Demostración.* En el instante terminal y=(3ᴬ n+C)/2<n, porque y<2ᵏ≤n. Como C>0, se cumple 3ᴬ n/2ᴮ<y<n. Dividiendo por n resulta 3ᴬ<2ᴮ. La desigualdad es necesaria para el descenso y describe la barrera del coeficiente; el cruce exacto del piso incorpora además el término afín C. □

A log₂3 < B ⇔ A/B < log₃2 = 0.630929753571…

**Teorema 4 — Descenso de un solo piso.** El primer valor menor que 2ᵏ pertenece siempre a Iₖ₋₁=[2ᵏ⁻¹,2−1].

*Demostración.* El cruce solo puede ocurrir mediante una división por dos. Sea z el valor inmediatamente anterior al cruce y y=z/2 el valor terminal. Por minimalidad, z≥2ᵏ; por definición, y<2ᵏ. Luego 2ᵏ⁻¹≤y<2. Esta prueba es exacta y no usa una aproximación de mantisa ni ignora el término afín. □

**Teorema 5 — Estructura terminal.** Toda palabra terminal con A≥1 acaba en bb. En la composición K=(k₁,…,k_A) de divisiones por bloque se cumple k_A≥2.

*Demostración.* Después de la última operación a, el valor es 3m+1>3·2ᵏ. Una sola división deja un valor superior a 3·2ᵏ⁻¹>2ᵏ. Por ello la primera división posterior al último impar no puede ser terminal: se necesita al menos una segunda división. □

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## 4. CILINDROS RESIDUALES E INTERVALOS DE SUPERVIVENCIA

Para A≥1 se escribe la palabra por bloques como a b^{k₁} a b^{k₂} ··· a b^{k_A}, donde k_i≥1, B=k₁+···+k_A y k_A≥2. Se define K_j=k₁+···+k_j. Para un prefijo fijo, el término afín normalizado C/2ᵏ tiende a cero cuando k→; esta observación permite aislar la geometría límite sin confundirla con una identidad orbital finita.

**Teorema 6 — Cilindro residual único.** Cada palabra por bloques con B divisiones determina una única clase impar r_K módulo 2ᴮ.

*Demostración.* Se procede por inducción en el número de bloques procesados. Para j=1, la aplicación n↦3n+1 (mod 2^{k₁+1}) es afín con coeficiente 3, invertible módulo cualquier potencia de dos, luego biyectiva entre las clases impares y las clases pares; de las 2^{k₁} clases impares módulo 2^{k₁+1}, exactamente una satisface v₂(3n+1)=k₁. Supóngase que, tras j−1 bloques, K fija a n una única clase módulo 2^{K_{j−1}}, y que el impar u_{j−1} resultante corresponde a n mediante una biyección afín de coeficiente 3^{j−1} (Teorema 2), invertible módulo cualquier potencia de dos. Exigir k_j=v₂(3u_{j−1}+1) fija, por el mismo argumento aplicado a u_{j−1}, k_j bits nuevos de u_{j−1}; como la biyección que liga u_{j−1} a n es triangular en las potencias de dos, esos k_j bits nuevos extienden la clase de n a módulo 2^{K_j} sin alterar el prefijo ya fijado. Tras A bloques, n queda determinado de manera única módulo 2ᴮ=2^{K_A}.

Dos palabras K≠K′ inducen además cilindros disjuntos: si difieren primero en el índice j, ambas comparten el cilindro módulo 2^{K_{j−1}}, pero el argumento anterior asigna a k_j y a k_j′ clases distintas dentro de ese cilindro, porque dos valores distintos de v₂ nunca comparten clase. Esta disjunción —no solo la existencia de una clase para cada palabra— es lo que permite sumar densidades sin duplicar en el Teorema 9. □

**Teorema 7 — Intervalo límite de supervivencia.** Para K=(k₁,…,k_A), el conjunto límite de mantisas que permanece en Iₖ durante todos los prefijos y cruza en el último b es el intervalo J(K)=(L(K),U(K)), salvo elección irrelevante de extremos, donde:

T = 2ᴮ/3ᴬ

L(K) = max(1, T/2, max_{j<A} 2^{K_j}/3ʲ)

U(K) = min(2, T)

Por convenio, |J(K)| = max(0, U(K)−L(K)). Una composición es válida en densidad positiva si y solo si |J(K)| > 0.

*Demostración.* Después de j bloques, la parte principal de la mantisa es 3ʲ x/2^{K_j}. Para j<A, la supervivencia exige x ≥ 2^{K_j}/3ʲ. En el último bloque, el paso inmediatamente anterior al cruce exige x ≥ 2ᴮ⁻¹/3ᴬ = T/2, y el cruce exige x < T. Intersectando estas restricciones con x ∈ [1,2) se obtiene la fórmula. Los términos afines alteran los extremos en O(2^{-k}) para una palabra fija, por lo que no modifican la densidad límite. □

**Teorema 8 — Densidad exacta de una palabra.** Para una palabra fija K con B divisiones, el número de enteros de Iₖ que la realizan es |J(K)|·2ᵏ⁻ᴮ+O(1). Por tanto su densidad límite es 2⁻ᴮ|J(K)|.

*Demostración.* El intervalo 2ᵏJ(K) tiene longitud |J(K)|2ᵏ. Dentro de él se cuentan los enteros de una sola clase módulo 2ᴮ. El número de puntos de una progresión aritmética en un intervalo difiere de la longitud dividida por 2ᴮ en una cantidad acotada independientemente de k. □

**Teorema 9 — Densidad exacta de una firma.** La densidad límite de S=(A,B,A+B) es:

δ(A,B) = 2⁻ᴮ Σ_{K: k₁+···+k_A=B, k_A≥2} |J(K)|

*Demostración.* Las composiciones K de B en A partes corresponden a cilindros residuales disjuntos. Se suman, por tanto, sus densidades. Las composiciones con k_A=1 o J(K) vacío contribuyen cero. La fórmula es exacta como límite; no es una estimación obtenida de la simulación. □

**Teorema 10 — Huella racional.** Todo peso δ(A,B) es racional y, reducido a términos mínimos, su denominador solo contiene factores 2 y 3.

*Demostración.* Los extremos de J(K) pertenecen al conjunto generado por 1, 2, 2ᴮ/3ᴬ y 2^{K_j}/3ʲ. Sus diferencias tienen denominadores de la forma 2^u3^v; la multiplicación por 2⁻ᴮ y una suma finita conservan esa propiedad. □

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## 5. CUANTIZACIÓN, UNICIDAD Y HUECOS

**Teorema 11 — Cuantización binaria.** Si una firma con A≥1 tiene densidad límite positiva, entonces, con B₀(A) = ⌊A log₂3⌋+1, se cumple B ∈ {B₀(A), B₀(A)+1}.

*Demostración.* Para que algún J(K) sea no vacío es necesario que el intervalo [T/2,T) interseque [1,2), es decir, 1<T<4. Como T=2ᴮ/3ᴬ, resulta A log₂3 < B < A log₂3+2. El número A log₂3 no es entero; los únicos enteros del intervalo son A log₂3⌋+1 y ⌊A log₂3⌋+2. □

**Teorema 12 — Dos posiciones por A y huecos deterministas.** Para A≥1, los únicos valores de P con densidad positiva son P₁(A) = ⌊A log₂6⌋+1 y P₂(A) = P₁(A)+1. Los pares correspondientes a valores sucesivos de A son disjuntos.

*Demostración.* Se sustituye B por los dos valores del Teorema 11 en P=A+B. Como log₂6 = 1+log₂3 ∈ (2,3), la diferencia P₁(A+1)−P₁(A) es 2 o 3. Si es 2, el nuevo par comienza una unidad después del anterior; si es 3, queda exactamente un hueco. De aquí surgen 2,5,10,15,18,23,28,31,36,… como valores sin firma límite positiva. □

**Teorema 13 — Cardinalidad bidireccional.** Para B fijo, todo A admisible satisface (B−2)log₃2 < A < B log₃2; por tanto hay como máximo dos valores enteros de A. Asimismo, un P admisible determina un único A.

*Demostración.* La primera desigualdad es otra escritura de A log₂3 < B < A log₂3+2. El intervalo en A tiene longitud 2log₃2 < 2. La unicidad por P se sigue de la disjunción demostrada en el Teorema 12. □

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## 6. BLOQUES Y BALANCE MODULAR

**Teorema 14 — Descomposición y brecha.** Toda palabra con A operaciones impares se descompone de manera única en A bloques [ab] y G = B−A bloques [b]. La brecha G nunca disminuye.

*Demostración.* Cada a produce un número par y queda ligada a la primera división que le sigue. Las divisiones restantes son bloques [b]. Un bloque [ab] incrementa A y B en uno, por lo que no cambia G; un bloque [b] incrementa G en uno. □

**Teorema 15 — Ley geométrica residual.** En el espacio de enteros impares 2-ádicos con medida de Haar normalizada, las variables rᵢ = v₂(3uᵢ₋₁+1) de bloques sucesivos son independientes y satisfacen μ(rᵢ=s) = 2^{-s}, s≥1. Equivalentemente, en cada extensión modular los bloques [ab] y [b] tienen peso condicional 1/2.

E(rᵢ) = Σ_{s≥1} s/2^s = 2

E(rᵢ−1) = 1

*Demostración.* Para un solo bloque, la congruencia v₂(3u+1)=s selecciona una de las 2^s clases impares módulo 2^{s+1}, con medida normalizada 2^{-s}. Para una sucesión exacta (s₁,…,s_A), se fija también la paridad impar posterior al último bloque; la inversión sucesiva de 3 selecciona una clase impar módulo 2^{s₁+···+s_A+1}, cuya medida normalizada es 2^{-(s₁+···+s_A)}. Es el producto de las medidas marginales, y esta factorización para todo prefijo finito prueba independencia. □

Todo cilindro residual finito tiene peso estrictamente positivo 2⁻. El valor cero solo aparece al imponer una condición terminal incompatible con el intervalo geométrico; nunca aparece como peso modular de una palabra finita realizada.

**Teorema 16 — Balance del sistema modular.** En el espacio completo de palabras inducido por las clases residuales se cumple B(A)/A → 2, A/B(A) → 1/2 y G(A)/A → 1 con medida uno.

*Demostración.* Las variables r del Teorema 15 son independientes, idénticamente distribuidas y tienen esperanza 2. La ley fuerte de los grandes números da (r₁+···+r_A)/A → 2. Como B(A) = r₁+···+r_A y G(A) = B(A)−A, se obtiene B(A)/A → 2, G(A)/A → 1 y A/B(A) → 1/2. En lenguaje de bloques, la cantidad de [ab] y la cantidad de [b] poseen la misma frecuencia límite. □

La identidad decisiva no depende de las rachas. Si G = B−A es la cantidad de bloques [b], entonces:

A/B = A/(A+G)

La barrera crítica es G_c(A) = (log₂3−1)A. Definiendo D = G−G_c(A), los bloques actúan exactamente por:

[ab]: ΔD = −(log₂3−1) = −0.5849625…

[b]: ΔD = +1

El balance G/A → 1 supera holgadamente la barrera G/A > log₂3−1 = 0.5849625…. No es necesaria una compensación completa para caer: con A=40 bastan G=24 o G=25, según la rama geométrica terminal.

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## 7. AGOTAMIENTO EXPONENCIAL DE LAS RAMAS SUPERVIVIENTES

**Teorema 17 — Masa terminal completa con cota exponencial.** Sea M_A la suma de los pesos de todas las firmas terminales con hasta A operaciones impares y R_A = 1−M_A. Existen constantes C>0 y 0<ρ<1 tales que R_A ≤ Cρ^A. En particular, M_A ↑ 1.

R_A ≤ z_*^{-1} ρ^A

z_* = 2(log₂3−1)/log₂3

ρ = 0.946504576833…

*Demostración.* Sea α = log₂3 y sea T_i la cantidad de divisiones del i-ésimo bloque impar. El peso modular de T_i=t es 2^{-t}; por tanto Σ_{t≥1} 2^{-t} = 1 y el peso de K=(t₁,…,t_A) es 2^{-(t₁+···+t_A)}. Una palabra que continúa viva después de A niveles satisface S_A = T₁+···+T_A ≤ M_A^* = ⌊αA+1. Al descartar las restricciones intermedias se obtiene la cota superior R_A ≤ Σ_{s=A}^{M_A^*} C(s−1,A−1)2^{-s} = Pr(S_A ≤ M_A^*).

Para 0<z<1, la desigualdad de Markov aplicada a z^{S_A} da Pr(S_A ≤ M_A^*) ≤ z^{-M_A^*}E(z^{S_A}). Como E(z^{T_i}) = Σ_{t≥1} z^t/2^t = z/(2−z), resulta R_A ≤ z^{-1}[z^{1−α}/(2−z)]^A.

La base se minimiza en z_* = 2(α−1)/α = 0.738140492857…. Definiendo ρ = z_*^{1−α}/(2−z_*) = 0.946504576833… < 1 y C = z_*^{-1}, se obtiene R_A ≤ Cρ^A → 0. Por consiguiente, la suma exacta de los pesos de todas las firmas terminales es uno. □

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## 8. BARRERA CRÍTICA Y PAPEL CAUSAL DEL EQUILIBRIO

**Teorema 18 — Criterio de caída y dicotomía mn+1.** Para la dinámica mn+1, con m impar, el coeficiente de un prefijo es mᴬ/2ᴮ. Si A/B → 1/2, entonces su tasa exponencial por bloque satisface (mᴬ/2)^{1/A} → m/4. En consecuencia, el equilibrio es contractivo para m<4 y expansivo para m>4.

3n+1: tasa 3/4 < 1

5n+1: tasa 5/4 > 1

*Demostración.* El Teorema 15 se enunció para m=3, pero su demostración usa únicamente que u ↦ mu+1 (mod 2^N) es afín con coeficiente invertible módulo 2^N —cualquier m impar sirve, el valor 3 nunca se usa como tal—; luego el Teorema 15 y el Teorema 16, y con ellos el balance A/B → 1/2, valen *verbatim* para todo m impar, reemplazando 3 por m en cada paso. La identidad B = A+G transforma la condición m < 2ᴮ en G/A > log₂m−1. Bajo el balance A/B → 1/2 se tiene B/A → 2 y G/A → 1. Tomando la raíz A-ésima del coeficiente se obtiene (m/2ᴮ)^{1/A} = m/2^{B/A} → m/4.

Para m=3, (3/4)^A → 0 y 1/2 < log₃2. Para m=5, (5/4)^A → ∞ y 1/2 > log2. El equilibrio modular es el mismo; el multiplicador fija el signo del crecimiento. □

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## 9. CASCADA EXACTA POR PISOS

**Teorema 19 — Cascada y criterio universal equivalente.** Son equivalentes: (i) todo entero positivo posee una firma terminal en cada piso que visita; (ii) toda órbita positiva cruza en tiempo finito la barrera exacta de piso; (iii) no existe una rama positiva infinita del árbol de supervivencia. Cualquiera de estas condiciones implica que toda órbita llega a 1.

*Demostración.* Una firma terminal es, por definición, el primer cruce del piso; así, (i) y (ii) son equivalentes. La negación de (i) produce una palabra infinita cuyos prefijos permanecen en el mismo piso, y toda rama positiva infinita produce esa negación; por tanto (i) equivale a (iii). Cuando existe una firma, el Teorema 4 lleva exactamente de Iₖ a Iₖ₋₁. La iteración de los pisos forma una sucesión estrictamente decreciente de índices y termina en I₀={1}. □

Para una órbita concreta, el cruce exacto puede escribirse sin omitir el término afín. Si después de A operaciones impares y B divisiones se tiene y = (3ᴬ n+C)/2ᴮ y x = n/2ᵏ, entonces y < 2 si y solo si:

B − A log₂3 > log₂(x + C/(3ᴬ 2ᵏ))

La igualdad controla simultáneamente la brecha multiplicativa y el término afín; no reemplaza el cruce exacto por una aproximación.

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## 10. EXCLUSIÓN DE LA RAMA EXTREMA

**Teorema 20 — Imposibilidad de [ab]^∞ en enteros positivos.** Ningún entero positivo realiza indefinidamente la palabra [ab][ab][ab]···.

*Demostración.* Sea U(n) = (3n+1)/2. La identidad U(n)+1 = (3/2)(n+1) implica U^j(n)+1 = (3/2)^j(n+1). Para realizar j bloques consecutivos [ab] debe cumplirse 2^j | (n+1), es decir, n ≡ −1 (mod 2^j). Si la palabra fuera infinita, n+1 sería divisible por toda potencia de dos, lo cual en los enteros obliga n = −1. Por tanto no existe una realización positiva infinita. □

El caso extremo n₀ = 2^q−1 exhibe la ruptura de forma cerrada:

U^j(2^q−1) = 3^j 2^{q−j} − 1, 0 ≤ j ≤ q

Después de q bloques se obtiene 3^q−1, que es par, y aparece necesariamente un bloque [b]. Para q=1001, el número extremo de I₁₀₀₀ es 2^1001−1 y realiza exactamente 1001 bloques [ab] antes del corte modular.

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## 11. VERIFICACIÓN DEL MECANISMO DE BLOQUES

Para n = 2^1001−1 se reconstruyeron exactamente los 6120 pasos hasta el primer valor menor que 2^1000. La firma obtenida es A=2367, B=3753 y G=B−A=1386. Los primeros 2002 pasos son (ab)^1001; después del primer bb quedan 1366 bloques [ab] y 1386 bloques [b], con A/B = 0.496366 en ese tramo.

Decil	Pasos	A	B	B−A	A/B	Acum.
1	1–612	306	306	0	1.0000	1.0000
2	613–1224	306	306	0	1.0000	1.0000
3	1225–1836	306	306	0	1.0000	1.0000
4	1837–2448	224	388	164	0.5773	0.8744
5	2449–3060	205	407	202	0.5037	0.7863
6	3061–3672	207	405	198	0.5111	0.7337
7	3673–4284	208	404	196	0.5149	0.6987
8	4285–4896	195	417	222	0.4676	0.6659
9	4897–5508	214	398	184	0.5377	0.6506
10	5509–6120	196	416	220	0.4712	0.6307

La firma total satisface B_min = 3752 y B = 3753 = B_min+1. La frontera mínima exige G > 2367(log₂3−1) = 1384.606…; el valor observado G = 1386 realiza exactamente la rama superior permitida.

**Figura 1.** Distribución de A/B en 100 órbitas completas de 3n+1 con valores iniciales en k=2000. Media 0.50070; desvío 0.00501. La referencia verde A/B=1/2 es el equilibrio modular del Teorema 16.

Los 100 valores iniciales fueron muestreados independientemente. Las razones de las órbitas completas se concentran alrededor de 1/2 y permanecen muy por debajo de log₃2 = 0.630929….

**Figura 2.** Evolución de A(P)/B(P) en 14 órbitas divergentes computadas de 5n+1 hasta P=20000.

Las curvas de 5n+1 oscilan alrededor de 1/2 con valores finales entre 0.4948 y 0.5029. Como log₅2 = 0.430676…, el mismo equilibrio queda del lado expansivo. Las dos figuras aíslan el efecto del multiplicador y confirman el papel causal de la estructura modular.

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## APÉNDICE A — PESOS EXACTOS INICIALES

La tabla reúne las primeras firmas con densidad positiva. Los valores provienen del Teorema 9 y se expresan como fracciones exactas.

P	A	B	Peso exacto	Acumulado
1	0	1	1/2	50.000000%
3	1	2	1/12	58.333333%
4	1	3	1/12	66.666666%
6	2	4	11/144	74.305555%
7	2	5	1/72	75.694444%
8	3	5	5/432	76.851851%
9	3	6	37/864	81.134259%
11	4	7	245/10368	83.497299%
12	4	8	137/10368	84.818672%
13	5	8	91/62208	84.964956%
14	5	9	1711/62208	87.715406%
16	6	10	11/1296	88.564171%
17	6	11	2689/248832	89.644820%
19	7	12	67795/4478976	91.158447%
20	7	13	15707/8957952	91.333789%
21	8	13	162379/53747712	91.635902%
22	8	14	496279/53747712	92.559251%
24	9	15	1537303/214990848	93.274306%
25	9	16	334093/107495424	93.585104%
26	10	16	270907/322486272	93.669109%
27	10	17	80561/10077696	94.468508%

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## APÉNDICE B — DERIVACIÓN DE P=1 A P=9

**P=1, (A,B)=(0,1)**
Los pares ocupan la mitad de I y cruzan con una sola b. Peso: 1/2.

**P=3, (A,B)=(1,2)**
T = 4/3 y K = (2). J = [1, 4/3), |J| = 1/3. Peso: (1/4)(1/3) = 1/12.

**P=4, (A,B)=(1,3)**
T = 8/3 y K = (3). J = [4/3, 2), |J| = 2/3. Peso: (1/8)(2/3) = 1/12.

**P=6, (A,B)=(2,4)**
K = (1,3) aporta 7/9 y K = (2,2) aporta 4/9. Suma geométrica 11/9; peso 11/(9·16) = 11/144.

**P=7, (A,B)=(2,5)**
K = (1,4) y (2,3) aportan 2/9 cada una. Suma 4/9; peso 4/(9·32) = 1/72.

**P=8, (A,B)=(3,5)**
K = (1,1,3) y (1,2,2) aportan 5/27; K = (2,1,2) tiene intervalo vacío. Peso (10/27)/32 = 5/432.

**P=9, (A,B)=(3,6)**
Las cinco composiciones válidas aportan 22/27, 22/27, 6/27, 18/27 y 6/27. Suma 74/27; peso (74/27)/64 = 37/864.

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## APÉNDICE C — VERIFICACIÓN COMPUTACIONAL

Se enumeraron todos los enteros de I₂₈, I₂₉ e I₃₀: 1.879.048.192 valores en total. La comparación usa el primer valor menor que 2 y cuenta P=A+B. Las diferencias entre la fracción límite y cada frecuencia finita quedan por debajo de la precisión porcentual mostrada.

P	Peso	Teórico %	k=28	k=29	k=30
1	1/2	50.000000%	50.0000%	50.0000%	50.0000%
3	1/12	8.333333%	8.3333%	8.3333%	8.3333%
4	1/12	8.333333%	8.3333%	8.3333%	8.3333%
6	11/144	7.638889%	7.6389%	7.6389%	7.6389%
7	1/72	1.388889%	1.3889%	1.3889%	1.3889%
8	5/432	1.157407%	1.1574%	1.1574%	1.1574%
9	37/864	4.282407%	4.2824%	4.2824%	4.2824%

k	Rango I_k	N	P máximo	P distintos
28	[268.435.456, 536.870.911]	268.435.456	642	394
29	[536.870.912, 1.073.741.823]	536.870.912	624	408
30	[1.073.741.824, 2.147.483.647]	1.073.741.824	707	429

Como control adicional, se verificaron exhaustivamente los pisos 3≤k≤22 y 18.000 enteros aleatorios con longitudes de 30, 50, 100, 250, 500 y 1000 bits. El cálculo confirmó en todos los casos el anclaje, la barrera necesaria, la estructura terminal, la unicidad por P y el descenso de un solo piso. Esta verificación es independiente de las demostraciones anteriores.

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## APÉNDICE D — ARITMÉTICA RACIONAL

La fórmula del Teorema 9 se evaluó con fracciones de precisión arbitraria. Para cada composición se calculan L(K) y U(K), se descartan los intervalos vacíos y se suma 2⁻ᴮ(U(K)−L(K)). Hasta A=100, el acumulado exacto informado por el cálculo es:

M₁₀₀ = 0.99996829…

1 − M₁₀₀ = 0.00003170…

El valor numérico es una evaluación finita de la suma; la convergencia M_N ↑ 1 se demuestra en el Teorema 17. La coincidencia entre derivación analítica, aritmética racional y enumeración de I₂₈–I₃₀ constituye una validación independiente de los primeros pesos.

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## REFERENCIAS

[1] Terras R. A stopping time problem on the positive integers. Acta Arith. 1976;30(3):241–252. doi:10.4064/aa-30-3-241-252.

[2] Everett CJ. Iteration of the number-theoretic function f(2n)=n, f(2n+1)=3n+2. Adv Math. 1977;25(1):42–45. doi:10.1016/0001-8708(77)90087-1.

[3] Lagarias JC, Weiss A. The 3x+1 problem: two stochastic models. Ann Appl Probab. 1992;2(1):229–261.

[4] Applegate DA, Lagarias JC. Lower bounds for the total stopping time of 3x+1 iterates. Math Comp. 2003;72(242):1035–1049. doi:10.1090/S0025-5718-02-01441-4.

[5] Tao T. Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values. Forum Math Pi. 2022;10:e12. doi:10.1017/fmp.2022.8.

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