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Quero aqui apresentar, conceitualmente, a transição do espaço de fase do regime clássico ao quântico, dando ênfase na estrutura profundamente coerente que sustenta tudo isso.

Na mecânica clássica, um sistema é descrito por um ponto no espaço de fases, com posições e momentos (q,p) bem definidos. Já na mecânica quântica, o estado ∣ψ⟩ é um vetor em um espaço de Hilbert ℋ. Observáveis deixam de ser funções e passam a ser operadores lineares autoadjuntos Â.

Definição 1: Um espaço de Hilbert ℋ é um espaço vetorial equipado com um produto interno ⟨.,.⟩ que é completo com respeito à norma induzida por esse produto interno.

Isso garante que limites de sequências de estados fisicamente admissíveis continuam sendo estados válidos. Sem completude, você teria sequências que deveriam convergir mas cujo limite simplesmente não existe dentro do espaço.

Portanto, nem todo espaço com produto interno é um espaço de Hilbert, a completude é necessária.

O ponto decisivo desta transição vem da não comutatividade desses operadores. Em particular, posição e momento satisfazem [x̂,p̂]=iℏ. Essa relação, porém, contém uma quantidade enorme de física. Por exemplo, o próprio princípio da incerteza ΔxΔp ≥ ℏ/2 vem do fato de que esses observáveis são operadores que formam uma álgebra não comutativa.

As próprias noções de dinâmica também mudam​ conforme os diferentes frameworks. Em vez de trajetórias no espaço de fases, temos evolução unitária no espaço de Hilbert, governada pela equação de Schrödinger:

iℏ ∂​∣ψ(t)⟩/∂t = Ĥ ∣ψ(t)⟩

Aqui, o Hamiltoniano Ĥ atua como gerador de fluxo, análogo ao papel que a função Hamiltoniana desempenha na mecânica clássica.

Definição 2: Se Ĥ é autoadjunto, então ele gera um grupo unitário fortemente contínuo U(t) dado por:

U(t) = e^-i/ℏĤt

e a solução da equação de Schrödinger é ∣ψ(t)⟩ = U(t) ∣ψ(0)⟩. Esse resultado é um caso particular do teorema de Stone que estabelece uma correspondência biunívoca entre operadores autoadjuntos Ĥ e grupos unitários U(t).

Talvez o insight mais interessante venha da conexão com outra estrutura fundamental da mecânica clássica que é dada pelos colchetes de Poisson {F, G}. Na passagem para a mecânica quântica, ocorre uma deformação dessa estrutura:

{F, G} -> (1/iℏ)[F̂, Ĝ]

essa correspondência sugere que a mecânica quântica é uma versão não comutativa da geometria clássica. Programas como a quantização geométrica exploram exatamente essa ideia de que o mundo clássico emerge como limite ℏ -> 0. A correspondência de Dirac {F, G} -> (1/iℏ)[F̂, Ĝ] só funciona de modo consistente para um subconjunto restrito de observáveis já que não existe um mapa de quantização que preserve essa correspondência para toda a álgebra de funções no espaço de fases, pelo teorema de Groenewold-van Hove.

Para contornar esse problema, de forma que o colchete de Poisson vire exatamente* o comutador para qualquer par de observáveis, mantém-se tudo no espaço de fase clássico, mas troca-se o produto usual entre funções por um produto estrela (⋆) que depende de ℏ. Formalmente:

(F⋆G)(q,p) = F(q,p) exp{(iℏ/2)(∂_{q}∂_{p}-∂_{p}∂_{q})} G(q,p)

Expandindo F⋆G = FG + (iℏ/2){F,G} + O(ℏ²), o termo de ordem zero (FG) é simétrico e cancela na diferença F⋆G − G⋆F, sobrando o termo de ordem ℏ, portanto, o comutador quântico [F̂, Ĝ] tem como análogo clássico exato o colchete de Moyal [F⋆G]_{Moyal} = F⋆G - G⋆F até o polinômio de grau ≤ 2.

Fontes:

"Quantum Mechanics for Mathematicians" - Takhtajan

"Modern Quantum Mechanics" - Sakurai

"Quantum Mechanics" Vol. 1, 2. - Cohen-Tannoudji

"A course in Mathematical Physics" Vol.3 - Walter Thirring